Geometri simplektik adalah bidang studi yang relatif baru, yang mempengaruhi banyak matematika modern. Dan inilah itu.
Pada awal abad ke-19, William Rowan Hamilton menemukan ruang geometris baru dengan sifat yang hampir ajaib. Ini mengkodekan gerak dan matematika menjadi satu objek geometris yang indah.
Bidang pengetahuan yang disebut geometri simplektis tumbuh dari fenomena ini . Dalam beberapa dekade terakhir, ia telah berkembang dari beberapa kumpulan ide menjadi bidang penelitian yang dinamis dengan koneksi yang mendalam ke lebih banyak topik dalam matematika dan fisika yang hampir tidak dapat dibayangkan Hamilton.
Geometri simplektik sebenarnya adalah ilmu yang mempelajari ruang-ruang geometris dari struktur simplektis. Namun, harus dijelaskan apa artinya ruang memiliki struktur - belum lagi struktur tertentu.
Ruang geometris bisa fleksibel seperti terpal atau kaku seperti tenda. “Terpal mudah dibentuk, tetapi jika Anda mengambil banyak tongkat dan menyusun bingkai untuk itu, Anda mendapatkan struktur yang lebih stabil,” kata Amy Murphy dari Universitas Northwestern.
Ruang yang kurang terstruktur hanyalah sekumpulan titik yang terhubung (seperti terpal). Garis lurus adalah contoh ruang satu dimensi semacam ini. Permukaan bola adalah contoh dua dimensi. Karena tidak ada struktur di ruang-ruang ini, mudah untuk mengubah bentuknya tanpa mengubah secara mendasar. Kurva garis lurus; mengembang, meremas, memutar bola - dari sudut pandang topologi, mempelajari ruang yang tidak terstruktur, mereka tidak akan berubah.
“Dari sudut pandang ahli topologi, dimulai dengan permukaan bola, Anda dapat meregangkannya sesuka Anda, dan sampai Anda merobeknya, ruang itu tidak berubah untuk mereka,” kata Isa Keating dari University of Cambridge. "Mereka tertarik dengan karakteristik umum dari sosok itu."
Secara alami, ketika ahli matematika berbicara tentang deformasi ruang, mereka tidak bermaksud mengubahnya secara manual. Mereka mengubah spasi menggunakan fungsi: fungsi tersebut menyertakan koordinat titik, dan koordinat titik baru keluar. Transformasi semacam itu menerjemahkan titik mana pun di ruang angkasa menjadi yang baru. Ini adalah persamaan matematika dengan menggoyangkan terpal.
Anda dapat menambahkan struktur ke ruang. Struktur ini memperkuat informasi yang terkandung di dalam ruang, sekaligus membatasi kemungkinan deformasi.
Ruang tak terstruktur: permukaan bola adalah ruang dua dimensi. Tidak adanya struktur memberikan banyak peluang untuk deformasi tanpa mengubah sifat topologinya.
Menambahkan struktur: Dengan menambahkan struktur metrik ke ruang - katakanlah, seperti garis lintang dan bujur pada bola dunia - kita dapat mengukur jarak antar titik. Tapi kemudian hanya akan ada sekumpulan kecil opsi untuk deformasi objek yang tidak melanggar jarak ini.
Anda dapat, misalnya, menambahkan struktur metrik ke permukaan bola, seperti garis lintang dan bujur pada bola dunia. Struktur seperti itu akan memungkinkan kita mengukur jarak antar titik. Tetapi setelah penerapannya, tidak mungkin lagi untuk mengembang atau meremas bola tanpa merusak struktur aslinya - lagipula, kemudian kami akan mengubah jarak antar titik. Jika kita mengembang balon, jarak antara New York dan London, misalnya, akan bertambah.
Kita dapat menambahkan jenis struktur lain - simplektis. Ini memberi kita kemampuan untuk mengukur area dalam ruang, dan memungkinkan kita untuk mengubah bentuk ruang sehingga area tersebut tidak berubah.
Contoh pertama dari ruang seperti itu ditemukan oleh Hamilton saat mempelajari sistem fisik- misalnya, pergerakan planet. Saat sebuah planet bergerak di luar angkasa, lokasinya ditentukan oleh tiga koordinat yang menentukan posisinya di sepanjang sumbu x, y, dan z. Titik-titik yang mewakili semua kemungkinan lokasi planet membentuk ruang tiga dimensi.
Hamilton menemukan bahwa setiap titik dalam ruang tiga dimensi ini dapat diberi tiga koordinat tambahan, yang menunjukkan besarnya momentum planet di sepanjang tiga sumbu. Sebut saja mereka x m , y m dan z m . Kami sekarang memiliki enam koordinat: tiga untuk lokasi dan tiga untuk momentum. Keenam koordinat ini menentukan titik di ruang enam dimensi yang baru.
Kami memiliki enam koordinat: tiga untuk lokasi dan tiga untuk momentum. Keenam koordinat ini menentukan titik di ruang enam dimensi yang baru.
Ruang enam dimensi ini merupakan contoh ruang berstruktur simplektis karena memiliki kemampuan mengukur luas. Dan inilah cara kerjanya.
Pada setiap titik dalam ruang, Anda dapat menggambar enam vektor (panah arah) yang sesuai dengan arah gerak atau momentum planet di sepanjang dimensi tempat titik vektor tersebut. Karena dua vektor membentuk jajaran genjang - ruang dua dimensi dengan luas bukan nol - Anda dapat mengambil dua vektor dan mengukur luas itu.
Untuk memastikan bahwa nilainya bukan nol, Anda perlu mengambil pasangan vektor tertentu - yang menunjukkan arah pergerakan dan momentum di sepanjang sumbu yang sama. Vektor yang tidak sesuai, sebagai contoh, vektor arah sumbu-z bersama-sama dengan vektor momentum sumbu y menghasilkan jajaran genjang dengan luas nol.
Pasangan vektor tersebut juga mencerminkan sifat penting lain dari ruang simplektis - hubungannya dengan bilangan kompleks. Angka-angka ini memiliki i, akar kuadrat dari -1, dan berbentuk a + bi, di mana a adalah nyata dan b adalah imajiner. Salah satu cara untuk mendefinisikan ruang simplektis enam dimensi adalah dengan mendefinisikan tiga bilangan kompleks, dua bagian dari masing-masing bilangan tersebut menghasilkan satu koordinat. Kedua bagian ini juga sesuai dengan dua vektor yang kita gabungkan untuk mengukur luas.
Jadi untuk setiap titik, misalnya, vektor arah gerak dan momentum yang diplot di sepanjang sumbu x tidak hanya menyediakan cara untuk mengukur luas, tetapi juga membentuk salah satu dari tiga bilangan kompleks yang menentukan ruang. Hubungan ini tercermin dalam namanya, karena "simplektis" berasal dari kata Yunani sumplektikós, yang artinya sama dengan kompleks Latin - "terjalin bersama". Nama tersebut mencerminkan jalinan struktur simplektis dan bilangan kompleks.
Ini juga salah satu alasan utama mengapa ruang simplektis menangkap imajinasi para ahli matematika. "Matematikawan sudah tertarik pada bilangan kompleks dan gerakan planet," kata Murphy. "Jadi jika Anda memberi tahu ahli matematika tentang keberadaan geometri, yang menunjukkan mengapa dua hal ini merupakan manifestasi yang berbeda dari struktur dasar yang sama, dia pasti akan tertarik dengan masalah ini."
Studi geometri simplektik transformasi ruang yang mempertahankan struktur simplektisnya dan tidak mengubah luas areanya. Pembatasan ini tidak memberikan banyak kelonggaran untuk transformasi yang diizinkan. Akibatnya, geometri simplektis menempati posisi tengah antara topologi terpal fleksibel dan geometri tenda kaku. Transformasi yang melestarikan struktur simplektis disebut, menurut penemunya, Hamiltonian diffeomorphisms .
Namun, Hamilton hanya menemukan contoh pertama dari ruang simplektis, dan tidak ada alasan untuk memikirkannya. Segera, para ahli matematika mulai memikirkan tentang seperti apa fenomena simplektis di ruang geometris yang tidak terkait dengan dunia fisik.
"Matematikawan selalu berjuang untuk generalisasi, kami ingin bertanya: seperti apa mekanika klasik jika kita tidak hidup dalam ruang tiga dimensi, tetapi di ruang delapan dimensi?" Kata Murphy.
Vladimir Igorevich Arnold mengemukakan beberapa hipotesis dasar di bidang geometri simplektis
Pada tahun 1960-an, Vladimir Igorevich Arnoldmengajukan beberapa hipotesis berpengaruh yang menjelaskan sifat-sifat tertentu dari ruang simplektis yang membuatnya lebih kaku daripada yang topologi biasa. Salah satunya, dugaan Arnold tentang titik-titik tetap dari symplectomorphisms, memprediksi bahwa Hamiltonian diffeomorphisms memiliki sejumlah besar titik "tetap" yang tidak terduga yang tidak mengubah lokasinya selama transformasi. Dengan mempelajarinya, kita dapat mengatakan dengan pasti apa yang membedakan ruang simplektis dari jenis ruang geometris lainnya.
Pada akhir 1980-an, matematikawan Jerman Andreas Floermengembangkan homologi Floer, platform hebat yang digunakan para matematikawan saat ini untuk mempelajari fenomena simplektis. Dia menggunakan apa yang disebut. kurva pseudoholomorfik, yang secara tidak langsung memungkinkan matematikawan menghitung jumlah titik tetap, menentukan jumlah minimum tertentu yang harus dimiliki oleh ruang simplektis.
"Homologi floer menunjukkan bahwa Anda tidak bisa begitu saja menjatuhkan poin tetap," kata Keating. "Ini memungkinkan Anda untuk membuktikan bahwa poin-poin ini pasti ada di sana."
Ketika teori geometri simplektis berkembang, koneksi ditemukan ke spektrum topik yang terus berkembang dalam matematika dan fisika, dari teori string hingga topologi dimensi rendah dan studi tentang dualitas matematika yang membingungkan yang disebut simetri cermin. Salah satu contoh terbaru dari penerapan geometri simplektis adalah solusi dari masalah pasak persegi topologi .
Namun, bagi banyak ahli matematika, daya tarik geometri simplektis tidak ada hubungannya dengan perpotongannya dengan fisika atau bidang matematika lainnya. Mereka menganggap keberadaannya sebagai keajaiban. "Kami mulai menemukan keindahan dalam struktur itu sendiri, terlepas dari hubungannya dengan hal lain," kata Murphy.