🐹 🤭 😅 Mengapa kita mengubah vektor 3D dengan matriks 4x4? 💂🏼 🔑 ♈️

Mengapa bukan matriks 3x3? Mengapa semuanya diatur dalam matriks 4x4 persis seperti ini? Mengapa ada baris terakhir yang diisi dengan angka nol dan satu di akhir? Saya mengajukan pertanyaan-pertanyaan ini sehari sebelumnya, memutuskan untuk menyelidiki pertanyaan itu dan menceritakan apa yang saya temukan.

Dalam artikel ini, kami hanya akan tertarik pada transformasi affine, dan khususnya rotasi, penskalaan, dan gerakan, yang secara aktif digunakan dalam pemrograman grafis dan pengembangan game secara umum.

: . , , , (A⋅x). , , , (+b).

T, x

$T (\ vec {x}) = A \ vec {x} + \ vec {b}$

, b x . x x', :

$\ begin {array} {ll} A \ rightarrow [a] \ rightarrow a, \\ \ vec {b} \ rightarrow (b) \ rightarrow b, \\ \ vec {x} \ rightarrow x, \\ T (x ) \ rightarrow x '\ end {larik}$

x ( ), b ( ).

, , . M, :

x' = 3x + 4 (3x +4 ) .

$\ begin {larik} {ll} Mx = 3x + 4 \\ M = (3x + 4) / x \\ M = 3 + (\ frac {4} {x}) \ end {larik}$

, ( 3x [3]), (x+4) , M x.

:

+4 +4y, y, x ,

$x '= 3x + 4y \\ y' = \ _x + \ _y$

2x2, x' = 3x+4 x, . . , .

$\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \\ \ _ & \ _ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix }$

2x2 , , - y, +4y , +4, x :

$\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \\ \ _ & \ _ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ 1 \ end {bmatrix } \ rightarrow \ begin {larik} {l} x '= 3 \ cdot x + 4 \ cdot 1 \\ y' = \ _ \ cdot x + \ _ \ cdot 1 \ end {larik}$

, , , , 3x+4 x' - y' y' ,