Penggunaan metode yang terkait dengan transformasi Fourier diskrit dalam bisnis memiliki potensi yang signifikan. Faktor pembatas dalam mewujudkan potensi ini adalah hambatan masuk metodologis yang tinggi.
Fokus utama pekerjaan:
- persyaratan data untuk perkiraan Fourier yang tepat dari deret waktu;
- validitas ekspektasi dari ramalan;
- satu set kecil harmonisa sudah cukup untuk mendekati rangkaian yang kompleks;
- apa itu acara Fourier;
- bagaimana dan bagaimana acara Fourier dapat membantu bisnis;
- Peristiwa Fourier dalam analisis arus kas.
1. Perkiraan
Tugas tersebut ditetapkan oleh pengangkut laut besar dan prakiraan terkait harga angkutan menurut jenis kapal. Pengangkut memiliki serangkaian langganan untuk prakiraan perusahaan analitik internasional, tetapi kualitas prakiraan tidak cocok untuknya. Perusahaan analis menggunakan regresi berganda, memiliki statistik jangka panjang, dan terus meningkatkan dimensi model mereka. Pada saat yang sama, mereka sendiri mengakui persentase kesalahan yang cukup besar dalam perkiraan mereka.
Kriteria untuk menilai keberhasilan ramalan baru adalah sebagai berikut: fragmen data historis diberikan, ramalan terbentuk dan keakuratan ramalan masa depan yang sudah terpenuhi dihitung. Eventfulness segera menjadi masalah metodologis yang jelas. Jika Amerika Serikat tidak menjual minyak sama sekali hingga 2017, lalu langsung menjadi pemimpin, lalu bagaimana hal ini dapat memengaruhi kesimpulan berdasarkan data historis. Peristiwa lain: perang, krisis, - dari sudut pandang prakiraan, pada dasarnya adalah peristiwa yang sama, tetapi situasi dengan ekspor minyak dari Amerika Serikat sangat indikatif untuk mengabaikan faktor peristiwa dalam metodologi prakiraan (bobot menghasilkan linieritas, dan peristiwa menghasilkan kesenjangan dan singularitas) ...
Banyak cara telah dicoba. Yang paling menarik adalah pendekatan deret Fourier (aproksimasi Fourier) deret waktu dan studinya dari sudut pandang peramalan untuk bisnis. Pada saat yang sama, ada masalah teknis - sepanjang waktu ada pergeseran perkiraan dari seri aslinya.
2. Pembentukan data untuk transformasi Fourier
Penjelasan awal yang diperlukan.
Transformasi Fourier Diskrit diterapkan pada vektor yang terdiri dari nilai nyata. Jika deret waktu dipandang sebagai sekumpulan titik <waktu-nilai>, maka transformasi Fourier diterapkan ke vektor dari urutan nilai deret waktu.
Ada kehalusan dalam menggunakan transformasi Fourier, yang terkait dengan jumlah nilai dan karakteristik celah di antara keduanya. Misalnya, deret waktu asli mungkin memiliki interval yang tidak rata atau nilai yang hilang untuk posisi waktu tertentu (akhir pekan, hari libur).
Dalam banyak kasus, prosedur berikut sangat membantu. Deret waktu asli pertama-tama diinterpolasi, lalu jumlah nilai yang diperlukan pada posisi waktu yang diinginkan diambil dari fungsi interpolasi. Dengan demikian, deret waktu asli diganti dengan deret reguler yang lebih sering dengan jumlah nilai interpolasi yang diperlukan.
Berikut ini adalah pendekatan yang dijelaskan oleh A. Dieckmann.
Transformasi Fourier Diskrit.
Sebuah vektor nilai riil u = u [r] ditransformasikan menjadi vektor nilai kompleks f [s] menggunakan rumus berikut (ada beberapa rumus untuk F [s, r] yang memberikan hasil ekivalen): f [s] = u [r] * F [s, r], di mana
, dan nilai s, r bervariasi dari 1 hingga n.
Data yang diperlukan untuk mendapatkan spektrum Fourier.
Vektor yang dihasilkan f [s] dapat diartikan sebagai spektrum Fourier, karena mengandung informasi tentang amplitudo, frekuensi, dan fase harmonisa fundamental.
Selain itu, ada persyaratan untuk u [r]. Nilai u [r] harus ditentukan pada titik-titik pemisah dari interval jika interval memiliki panjang bilangan bulat langkah dengan ukuran yang sama. Nilai r sesuai dengan posisi (indeks) dalam vektor. Secara umum, r mendefinisikan posisi dalam waktu (deret waktu) atau ruang (dalam dimensi lain).
Misalkan vektor u [r] harus ditentukan pada interval [tMin, tMax], yang panjangnya adalah tt = (tMax-tMin). Misalkan delta = tt / n sesuai dengan jarak antara titik-titik yang berdekatan dari interval, di mana u [r] dihitung.
Mari kita pertimbangkan proses apa yang secara teknis harus dilakukan.
Eksponen kompleks dalam matriks F [s, r] dapat diartikan sebagai probe vektor (bergantung pada s) yang berputar pada bidang kompleks dengan frekuensi (s-1) / tt dan bergerak secara berurutan (dalam ruang atau waktu) sepanjang (r- 1) * tt / n. Selama perkalian matriks, vektor probe yang sesuai dengan r dikalikan dengan u [r] spesifik, dan jumlah vektor dihitung untuk semua r, menghasilkan bilangan kompleks f (s). Dan itu diulangi untuk semua s dari 1 sampai n. Setiap f [s] menunjukkan ada atau tidaknya komponen yang berosilasi pada frekuensi yang terkait dengan s.
Bagaimana seharusnya u [r] dibentuk?
Pada titik ini, deret waktu asli harus diinterpolasi dan ditampilkan pada interval yang dipilih, kelipatan sejumlah langkah bilangan bulat. Sejumlah poin yang cukup untuk perkiraan yang akurat dipilih secara empiris.
Pada tahap ini, yang terpenting adalah berapa banyak poin yang harus diambil dan mana. Nilai n ditetapkan pada delta. Dalam kasus ini, kami memiliki satu set n + 1 poin untuk semua nilai partisi interval.
Dalam u = u [r] penting untuk memasukkan titik-titik hanya dari yang pertama sampai yang terakhir, tetapi tidak yang terakhir: hanya n.
Jika tidak, pendekatan Fourier akan sedikit bergeser relatif ke deret waktu asli.
3. Interpretasi visual dari transformasi Fourier
Untuk penggunaan luas transformasi Fourier dalam praktiknya, perlu untuk merasakan apa yang diberikannya selain rumus yang kompleks, dan dengan benar membentuk data awal.
Pertimbangkan bagaimana transformasi Fourier bekerja pada fungsi sinusoidal. Untuk ini, berguna untuk menggabungkan pada satu grafik perilaku fungsi dan karakteristik yang diberikan oleh transformasi Fourier pada titik tertentu dan secara umum pada fungsi yang diteliti.
Pertimbangkan fungsi 1 + Sin [2Οx] pada segmen [0, Ο].
Amplitudo fungsi ini sesuai dengan 1Hz, karena ia mengulangi gerakannya setelah 2 Ο.
Misalkan n = 20, maka ketika membagi interval menjadi bagian-bagian yang sama, Anda bisa mendapatkan 21 nilai pada titik-titik pemisahan yang sesuai. Tapi, mengikuti penjelasan di atas, kami akan beroperasi dengan hanya 20 poin - tanpa yang terakhir (hanya hitam pada gambar di atas).
Parameter r maju sepanjang absis dan memiliki 20 nilai. Parameter s menentukan kecepatan dalam (s-1) Hz.
Gambar-gambar berikut menunjukkan rotasi vektor probe. Setiap probe vektor dimulai pada titik u [r], untuk itu nilai F [s, r] dihitung. Parameter ujung vektor probe diperoleh sebagai berikut: absis adalah hasil kali u [r] * Re [F [s, r]], ordinatnya adalah u [r] * Im [F [s, r]].
Untuk kejelasan, palet vektor probe bergerak dari awal hingga akhir telah dipilih. Dimulai dari coklat, kemudian hijau menjadi biru:
Gambar di bawah ini menunjukkan rotasi vektor probe yang direduksi menjadi titik pada grafik di mana transformasi Fourier dihitung, serta jalur (jumlah vektor) ketika vektor probe yang berdekatan berbatasan langsung.
Sumbu ordinat menampilkan amplitudo dari fungsi asli dan bagian imajiner dari transformasi Fourier.
Sumbu absis adalah posisi titik pada interval waktu fungsi asli dan bagian nyata dari transformasi Fourier.
Jumlah vektor menunjukkan konfigurasi gerak vektor probe. Titik hitam menunjukkan awal gerakan dan akhir gerakan (titik hitam lain jika tidak cocok). Untuk s = 3, awal dan akhir adalah sama. Untuk s = 1 dan s = 2, awal dan akhir tidak cocok.
Koordinat awal dan akhir ditampilkan secara terpisah, serta nilai yang dibulatkan (sangat mendekati nol).
Nilai s mencirikan frekuensi yang diuji.
Ada simetri dalam perilaku.
Pusatnya adalah s = 11.
Untuk contoh simetri, kita akan memberikan angka untuk s = 19 dan s = 20, yang simetris dengan s = 3 dan s = 2.
Apa yang terjadi jika Anda mengambil bukan 20 poin, tetapi 21, termasuk yang terakhir. Contoh untuk s = 3. Ini menunjukkan adanya komponen yang berosilasi dengan frekuensi yang terkait dengan s = 3, sementara tidak ada osilasi seperti itu dalam fungsi aslinya. Hanya ada fluktuasi 1Hz dalam fungsi aslinya.
Semua plot di atas dimaksudkan untuk menunjukkan pentingnya pemisahan interval dengan benar dan pengambilan sampel data untuk interval ini tanpa nilai terakhir. Hanya dalam kasus ini akan ada perkiraan Fourier yang benar dari deret aslinya dan kemungkinan kelanjutan periodiknya.
Aspek pendekatan Fourier lainnya disajikan dalam literatur referensi dengan cukup lengkap.
4. Analisis deret waktu nyata
Mari kembali ke tugas yang telah dijelaskan di awal.
Berikut ini adalah perkiraan Fourier dari data historis tentang harga pengiriman untuk pengiriman.
Pada setiap gambar di blok pertama di sebelah kiri, ada grafik yang menunjukkan pada tingkat berapa harmonik nilai amplitudo (garis titik-titik merah) yang memberikan kontribusi tidak signifikan terputus. Blok pertama di sebelah kanan menunjukkan karakteristik dari 10 harmonik pertama dari seri aproksimasi dalam penurunan amplitudo.
Blok kedua terdiri dari plot dengan peningkatan jumlah harmonisa (dalam urutan dari amplitudo terbesar) yang digunakan untuk perkiraan. Hasil dari aproksimasi adalah garis putus-putus merah.
Untuk deret waktu tertentu, 5 harmonik sudah cukup.
Untuk deret waktu ini, kami dapat membatasi diri pada 5 harmonisa, jika tidak menganggap data yang sangat lama terlalu penting.
Rangkaian waktu ini didekati dengan baik oleh harmonik ke-8.
Dalam hal ini, diinginkan untuk memperhitungkan 11 harmonik.
Dengan demikian, data historis dalam bidang kegiatan yang cukup dinamis (harga kapal untuk transportasi laut) dapat diperkirakan dengan baik dengan rata-rata 10 harmonisa.
Secara umum, masalah peramalan, ketika masa depan yang sudah ada direkonstruksi dari fragmen data historis dengan beberapa kesalahan, dapat dianggap diselesaikan jika (beberapa) harmonik dasar dari aproksimasi diketahui.
Pada saat yang sama, jelas bahwa ramalan untuk masa depan yang akan diberikan oleh pendekatan Fourier sebenarnya akan salah: hal ini menjadi jelas karena mekanisme transparan untuk menyusun pendekatan Fourier.
Dengan regresi berganda, ketika kita berbicara tentang 70% dari perkiraan keandalan, semuanya sama, tetapi mekanisme konstruksi buram memungkinkan kita untuk berharap secara tidak wajar bahwa, secara keseluruhan (70%), perkiraan akan benar.
5. Acara Fourier
Peristiwa Fourier muncul dengan asumsi bahwa proses siklus dasar (harmonik) berlangsung, yang ditumpangkan dan digabungkan dengan peristiwa penting, juga diwakili oleh harmonisa.
Jadi, semua harmonik dari pendekatan Fourier dibagi menjadi dua bagian: harmonik dasar proses dan harmonik peristiwa. Penting untuk diingat bahwa jumlah harmonik dasar dan peristiwa memberikan perkiraan yang memadai dari rangkaian aslinya.
Dalam hal ini, untuk prakiraan yang baik, cukup mengetahui siklus dasar dan memiliki daftar peristiwa dan keadaan, yang menurutnya prakiraan bergulir harus dibentuk berdasarkan peristiwa yang diharapkan atau sudah terjadi atau rantainya. Tapi ini sedikit berbeda, bukan teknologi peramalan tradisional.
Dua metode berikut untuk memperbaiki kejadian Fourier dibenarkan secara metodologis.
Metode pertama dikaitkan dengan pengurangan dari deret waktu lengkap dari semua kemungkinan kombinasi harmonisa yang mendekati, dan perbandingan kejadian yang diketahui dengan ekstrema yang dihasilkan atau deviasi stabil. Karena hampir semua industri memiliki perusahaan analitik yang mengumpulkan statistik dan meninjau tren (di beberapa industri bahkan mingguan), menemukan peristiwa penting untuk suatu tanggal bukanlah masalah yang cukup sulit.
Yang kedua, sebut saja metode pemisahan, dikaitkan dengan membagi deret waktu lengkap menjadi periode dengan panjang berbeda dan mencari periode "serupa" dengan harmonik yang sebanding. Dengan pendekatan yang dijelaskan pada pendekatan Fourier, tugas seperti itu dapat sepenuhnya otomatis.
Metode pemisahan secara kualitatif berbeda dari metode pertama, karena terdapat operasi awal, yang nonlinier untuk seluruh pemisahan, untuk memisahkan trennya (regresi linier) dari setiap komponen pemisahan yang dipilih.
6. Analisis data harga minyak melalui peristiwa Fourier
Misalnya, perhatikan harga minyak Europe Brent Spot Price FOB. Sumber: Thomson Reuters. Administrasi Informasi Energi AS. Thomson Reuters. Data harian dalam dolar AS dari 20 Mei 1987 hingga 10 November 2020.
Rangkaian waktu asli.
Kami memilih tren - regresi linier.
Kami menghapus data awal dari tren (tren linier selalu dapat dipulihkan).
Grafik biru - data mentah. Hitam sedang tren. Oranye - data dinormalisasi (tidak ada tren).
Temukan perkiraan.
Sejauh ini, semuanya tidak terlalu bagus: harmonik ke-8 dan ke-20 untuk seri seperti itu tidak akan cukup.
Untuk 30 harmonisa, hasilnya cukup memuaskan.
Mari beralih ke metode mengisolasi kejadian Fourier. Mari kita gambarkan salah satu pendekatan untuk kasus pendekatan deret asli dengan 8 harmonik.
Temukan semua kemungkinan kombinasi dari 8 harmonik. Akan ada 255 dari mereka. Untuk setiap 255 kombinasi, kami akan menghitung nilai absolut dari selisih poin antara baris asli dan struktur (baris) yang dihasilkan oleh kombinasi harmonik tertentu.
Untuk seri baru, kami menghitung maksimum, deviasi standar, dan jumlah total nilai (ada kemungkinan indikator lain perlu dihitung: rata-rata, dll.).
Pada gambar, indikator ini ditampilkan secara berurutan. Mereka sesuai dengan seratus nilai pertama, diurutkan dalam urutan maksimum.
Mari kita pertimbangkan 60 pertama dari 100 yang dipilih. Dan kemudian kita akan memilih yang menarik (secara visual). Grafiknya ditunjukkan di bawah ini. Angka di bawah gambar sesuai dengan angka urut kombinasi 255. Grafik abu-abu adalah baris asli, baris merah dari kombinasi harmonisa.
Apa yang dianggap "menarik" adalah tugas yang berarti untuk bisnis. Segala sesuatu yang telah ada selama ini hanyalah teknik standar.
Apa yang terjadi pada akhirnya? Dari himpunan harmonik yang mendekati deret asli dengan baik, kami telah memilih kombinasi yang di beberapa area sangat sesuai dengan deret waktu asli, dan di area lain menunjukkan perbedaan yang jelas. Hanya situs terakhir adalah kandidat untuk analisis peristiwa yang terjadi selama periode ini (semua bagan harian dengan tanggal eksplisit).
Selain itu, keberadaan area dengan grafik yang sangat berdekatan memberikan dasar untuk mendapatkan karakteristik "norma" untuk dinamika proses yang dipantulkan.
Tujuan dari analisis ini adalah untuk mengidentifikasi harmonisa yang sesuai dengan peristiwa. Masalah kebalikannya adalah pemilihan proses siklus dasar.
Metode pemisahan penting karena proses yang diwakili oleh satu deret waktu pada dasarnya dapat berupa gabungan dan bergantung pada peristiwa dari tingkat yang lebih tinggi: krisis global, dll.
7. Peristiwa Fourier dalam analisis arus kas
Proses analisis deret waktu dikaitkan dengan ekspektasi bahwa proses siklis mendominasi di dalamnya. Secara umum, ekspektasi seperti itu mungkin tidak terpenuhi. Intinya bahkan bukan bahwa tidak ada dominasi siklus seperti itu. Hanya karena cara tertentu di mana deret waktu dibentuk, mungkin tidak mungkin untuk mengidentifikasi siklus dalam deret tertentu itu.
Arus kas adalah masalah lain. Faktanya, produksi dan aktivitas komersial, sebagian besar proses pada awalnya adalah siklus dalam cara pembentukannya. Penyimpangan dari norma dikaitkan dengan peristiwa yang mengganggu siklus ini. Penggunaan metode kejadian Fourier dalam analisis arus kas memungkinkan untuk mengidentifikasi βnormaβ yang objektif, serta indikator penyimpangan.
Dalam kaitannya dengan peristiwa Fourier, masalah analisis arus kas sangat algoritmik untuk menerapkan metode kecerdasan buatan dan jaringan saraf (pembelajaran mesin).