Relativitas umum. Energi sebagai dimensi tambahan dalam solusi Schwarzschild

Habritants ! Artikel ini menjelaskan cara mendapatkan metrik umum yang menyertakan metrik Friedman dan Schwarzschild sebagai kasus khusus.



Untuk memahami materi, Anda membutuhkan konsep turunan.



Bayangkan bahwa ruang angkasa memiliki dimensi keempat. Seolah-olah gerakan di dalamnya menjauhkan sebagian gerakan dari objek, atau sebaliknya. Seolah-olah gravitasi adalah efek geometris murni dari menciptakan pusaran sub-dimensi di sekitar objek apa pun dengan energi.



Anda mungkin telah menemukan visualisasi gravitasi yang serupa jika Anda tertarik dengan pertanyaan:







Untuk memperkirakan kedalaman corong semacam itu dan mekanisme interaksi objek, kami akan merumuskan ekspresi untuk interval tanda tangan (1-4).

Koordinat 3-bola

Bayangkan ruang 4 dimensi $$$\psi (w,x,y,z) = \mathbb{R}^4$ , dan tentukan di dalamnya koordinat bola$$$(r, \theta, \phi, \eta)$ :

$$

$$] \, {w = r\sin\theta\sin\phi\cos\eta; \\ x = r\sin\theta\sin\phi\sin\eta; \\ y = r\sin\theta\cos\phi; \\ z = r\cos\theta } \\$$

Untuk melakukan ini, kami menuliskan matriks transisi:

$$

$$\vec{r} = \left( \matrix{w \\ x \\ y \\ z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\sin\phi\cos\eta \\ r\sin\theta\sin\phi\sin\eta \\ r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta } \right)$$

Mari kita hitung faktor konversinya:

$$

$$g_r = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} \right| = \sqrt{ \left( \frac{\partial w}{\partial r} \hat{h} + \frac{\partial x}{\partial r} \hat{i} + \frac{\partial y}{\partial r} \hat{j} + \frac{\partial z}{\partial r} \hat{k} \right)^2 } = \\ = \sqrt{sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta + \sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta + sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta} = 1 \\ g_\theta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} \right| = \sqrt{r^2cos^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi+r^2sin^2\theta} = \\ = \sqrt{r^2(sin^2\theta + \cos^2\theta (cos^2\phi + sin^2\phi (cos^2\eta+sin^2\eta)))} = r \\ g_\phi = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi} \right| = \sqrt{r^2sin^2\theta\cos^2\phi\cos^2\eta + r^2sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\eta + r^2sin^2\theta\sin^2\phi + 0} = \\ = \sqrt{r^2sin^2\theta} = r\sin\theta \\ g_\eta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \eta} \right| = \sqrt{r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta} = r\sin\theta\sin\phi$$

Dan tunjukkan yang sesuai $$$\psi$ selang:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + (dw^2 + \color{green}{ dx^2 + dy^2 + dz^2}) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + (g_r^2 dr^2 + g_\theta^2 d\theta^2 + g_\phi^2 d\phi^2 + g_\eta^2 d\eta^2) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + 1 \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \\ ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{magenta}{1 \cdot dr^2} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \right)}$$

Komponen merah - temporal, disajikan serupa dengan metrik RENTANG.

Hijau - komponen spasial, yang direpresentasikan mirip dengan metrik RENTANG, dan mewakili permukaan bola-3.



Magenta ternyata menjadi penghubung yang tergantung antara waktu dan ruang - perbedaan pengali perubahan bagian spasial.

Tampilan umum dari interval

Melanjutkan pengembangan ide-ide yang diuraikan pada artikel sebelumnya , kami menempatkan perubahan pada dimensi keempat sebagai ukuran yang terkait dengan jumlah energi relatif benda, oleh karena itu, kami melengkapi metrik komponen$$$\color{orange}{-dr^2}$karena pertimbangan sistem yang tertutup secara energik, yang akan dianggap benar baik untuk Semesta secara keseluruhan (solusi Friedmann) dan untuk benda masif yang simetris secara sferis (solusi Schwarzschild). Pembaca yang tidak setuju dengan interpretasi ini mungkin hanya menganggapnya sebagai trik matematika:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right)}$$

Magenta di bagian temporal jelas:

$$

$$\color{magenta}{ \frac{dr^2}{dt^2} = \dot{r}^2 }$$

Mengatasi bug. Sayangnya, sekarang$$$\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$datar melalui transformasi koordinat tidak dimungkinkan. Jika Anda mengingatnya$$$r^2 \cdot (dx^2 + dy^2 + dz^2)$vektor basis tidak lagi ortogonal satu sama lain.

Pertimbangan lebih lanjut hanya berlaku untuk kasus perkiraan$$$\sin^2 \theta = \rho^2$ dapat diterima untuk nilai yang besar $$$r$...

Reformasi yang hijau untuk menunjukkan ruang itu $$$\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$ dapat direpresentasikan dalam koordinat sudut $$$(x_1, y_1, z_1)$ seperti metrik FLRW:

$$

$$\color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = \\ = r^2 \cdot dx_1^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot dy_1^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot \frac{d\eta^2}{d\theta^2} \cdot dz_1^2 - \color{orange}{dr^2} =} \quad \rightarrow (1)$$

Dalam kasus ini, koefisien transisi adalah sama:

$$

$$dx_1^2 = d\theta^2; \\ dy_1^2 = \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 = \sin^2 \theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot d\theta^2 = \sin^2 \theta \cdot \left( \frac{d\phi}{d\vec{r}} \cdot \frac{d\vec{r}}{d\theta} \right)^2 \cdot d\theta^2 = \\ = \sin^2\theta \cdot \left( \frac{g_\theta}{g_\phi} \right)^2 \cdot d\theta^2 = \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} \cdot d\theta^2 = d\theta^2; \\ \frac{d\eta^2}{d\theta^2} = \frac{g_\theta^2}{g_\eta^2} = \frac{1}{\sin^2\theta \cdot \sin^2\phi };$$

Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan vektor basis:

$$

$$(1) \rightarrow \quad \color{green}{= r^2 \cdot dx_1^2 \cdot \vec{e_{\theta}}^2 + r^2 \cdot dy_1^2 \cdot \vec{e_{\phi}}^2 + r^2 \cdot dz_1^2 \cdot \vec{e_{\eta}}^2 - \color{orange}{dr^2 \cdot \vec{e_r}^2} = } \quad \rightarrow \ (2)$$

apa itu 3-spasi $$$\psi'_1(x_1, y_1, z_1)$ dengan linier $$$d\theta$ vektor basis, faktor skala $$$r$ dan panjang sesaat $$$dl^2 = dx_1^2 + dy_1^2 + dz_1^2$, dalam kasus kami, dikurangi nilainya secara kolektif $$$dr^2/r^2$:

$$

$$(2) \rightarrow \quad \color{green}{ = r^2 \cdot \left( dx_1^2 \cdot \vec{e_\theta}^2 + dy_1^2 \cdot \vec{e_\phi}^2 + dz_1^2 \cdot \vec{e_\eta}^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2} \cdot \vec{e_r}^2} \right) = } \quad \rightarrow \ (3)$$

Tanpa komponen jingga, kita mendapatkan bagian spasial dari interval model kosmologi standar untuk ruang “datar” dengan kemungkinan degradasi faktor skala spasial $$$r$pada waktunya, seperti di FLRW.



"Paket" ekstra$$$dr^2$ akan lebih praktis lagi di spherical, hanya sekarang biasa untuk sphere tiga dimensi $$$(x_1, y_1, z_1) \rightarrow(\rho, \varphi, \zeta)$... Untuk membedakan antara koordinat sistem 3-bola dan 2-bola, yang terakhir dilambangkan$$$(\rho, \varphi, \zeta)$:

$$

$$(3) \rightarrow \quad \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx_1^2 + dy_1^2 +dz_1^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = r^2 \cdot \left( d\rho^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} + \rho^2 \cdot d\varphi^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2 \right) = \\ = r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right) }$$

dimana urutan besarnya rasio $$$dr = r d\rho \ \Rightarrow r = e^\rho$, dan $$$\varphi, \zeta$ dengan teorema tangen:

$$

$${ d\varphi = \frac{r}{\rho} \cdot d\phi; \\ d\zeta = \frac{r \cdot \sin \phi}{\rho \cdot \sin\varphi} \cdot d\eta. }$$

Maka interval penuhnya adalah:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)} \qquad (A)$$

Hasilnya adalah interval gabungan, seolah-olah "digabungkan" dari bentuk interval metrik FLRW dan metrik Schwarzschild, yang masing-masing mewakili kasus interaksi fisik tertentu. Sekarang mari kita lihat bagaimana dari$$$(A)$ solusi yang sesuai diperoleh.

Tampilan interval untuk metrik Friedman

Secara matematis murni, interval bentuk $$$(A)$ menjadi metrik FLRW dari model kosmologi standar dengan hanya mengecualikan komponen energi $$$dr = 0$:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)}$$

Yang, seperti yang ditunjukkan di atas, juga bisa ditulis ulang seperti ini:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)}$$

Solusi dari persamaan relativitas umum untuk interval semacam itu memberikan ketergantungan $$$r \propto t^{2/3}$...



Namun, data QCS empiris untuk objek$$$z>0.3$menunjukkan penyimpangan gabungan dari hubungan ini.



Mungkin solusi untuk interval seperti$$$(A)$ akan memberikan hubungan yang lebih akurat, tetapi saya belum menemukannya.

Solusi relativitas umum dalam hal metrik Schwarzschild

Mari kita bandingkan interval yang dihasilkan dengan metrik Schwarzschild :

$$

$$ds^2 = -\color{red}{(1-\frac{\rho_s}{\rho})} \cdot dt^2 + \color{orange}{\frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}}} \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\phi^2 + \rho^2 \sin^2 \phi \cdot d\zeta^2$$

Jika kita membayangkan sistem objek yang berinteraksi dalam skala energi rendah $$$(dr/r \rightarrow \infty)$kemudian $$$r$ dapat dianggap sama dengan satu tanpa kehilangan konektivitas matematis, ruang tersebut kemudian akan menjadi pseudo-euclidean, dan interval $$$(A)$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

$$

$$ds^2 = (-1)\cdot \color{red}{ \left( 1 - \frac{dr^2}{dt^2} \right) } \cdot dt^2 + \color{orange}{ \left(1 - \frac{dr^2}{d\rho^2} \right) } \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2)$$

Secara matematis, ini persis sama seperti jika kita melakukan triknya $$$\pm dr^2$ untuk 3-ruang kosong dalam koordinat bola $$$(\rho, \varphi, \zeta)$...



Artinya, untuk kasus vakum datar, interval$$$(A)$akan memiliki solusi yang mirip dengan solusi metrik Schwarzschild, asalkan faktor yang disorot dalam warna merah dan oranye setara. Kami mendapatkan sistem:

$$

$$1-\frac{\rho_s}{\rho} = 1 - \frac{dr^2}{dt^2}; \\ \frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}} = 1 - \frac{dr^2}{d\rho^2}.$$

Dimana $$$t, r, \rho$- dalam urutan: waktu, kelengkungan (energi), jari-jari (jarak) dalam bidang gravitasi simetris bola sepanjang kelengkungan total ruang nol.

Menggunakan transformasi matematika sederhana, kami mendapatkan solusi yang sangat singkat:

$$

$$-dt^2 + dr^2 - d\rho^2 = 0,$$

yang menegaskan bahwa:

1. Koordinat keempat linear dengan koordinat radial.
2. Koordinat keempat adalah koordinat sumbu imajiner.

Yang pertama, menurut saya, sangat penting karena menunjukkan bahwa energi yang disajikan sebagai sumbu tambahan hampir bersifat isotropik terhadap yang dapat diamati. Kedua, ini memungkinkan Anda untuk memahami mengapa dia memanifestasikan dirinya secara berbeda. Dan "tidak bisa diamati".



Selain itu, saya ingin mencatat bahwa pengaturan dalam interval energi dengan tanda negatif terhadap ruang dan positif terhadap waktu memungkinkan kita merumuskan hubungan mereka sebagai berikut: ruang adalah energi-waktu, ia diatasi dalam energi-waktu.

Ringkasan

Bagi saya, kelanjutan mata kuliah geometriisasi fisika menunjukkan arah yang sangat menjanjikan. Fiktif sumbu energi dalam kosmologi bisa menjadi batu loncatan bagi persamaan Maxwell.

Catatan pinggir. Ke depan, saya akan membiarkan diri saya berasumsi bahwa satu ukuran imajiner untuk mengatur mekanisme muatan dan massa tidak akan cukup. Ditambah dualisme elektromagnetik sebagai argumen yang mendukung setidaknya dua dimensi. Dan beberapa bentuk simetri: dimensi waktu + dua energetik = tiga ruang.

Saat menggunakan skala mikro, saya akan mencoba bergerak ke arah "pemisahan"$$$r$:

$$

$$ds^2 = - dt^2 - dv^2 - dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Keterangan 23/08/2020:

Imajiner sumbu tambahan $$$r$ pada awalnya diberikan oleh tanda yang dengannya $$$\pm dr^2$dibagi menjadi komponen temporal dan spasial. Artinya, jika kita membayangkan medan gravitasi bukan sebagai corong, tetapi sebagai bukit, maka dimensi keempat akan berubah menjadi ruang angkasa:

$$

$$dt^2 + dr^2 + d\rho^2 = 0$$

Ketidakpedulian properti yang ditunjukkan pada (1,3) dari arah sumbu kelima, tampaknya, merupakan tanda dari bentuknya yang tertutup.