Beberapa soal matematika tidak bisa dipecahkan, dan itu bukan hal yang buruk

Buatlah segi delapan cembung dengan empat sudut siku-siku.



Mungkin, fakta bahwa saya memberikan tugas seperti itu menunjukkan banyak hal tentang saya sebagai seorang guru. Saya menyaksikan siswa mencoba berbaris sudut kanan secara konsisten. Saat gagal, mereka mencoba menyelingi sudut kanan. Gagal lagi, mereka secara acak memasukkannya ke dalam poligon. Detak otak mereka selama upaya berpikir adalah musik bagi telinga guru.



Kemudian mereka curiga dan mulai mengajukan pertanyaan. “Anda menyebutkan sudut siku-siku. Mungkin maksud Anda adalah tiga sudut? "," Apakah yang Anda maksud adalah poligon cembung? "," Empat sudut siku-siku, sebenarnya, membentuk persegi panjang. Bagaimana kita bisa mendapatkan empat sisi lagi di segi delapan? " Saya mendengarkan dengan seksama, mengangguk, mengkonfirmasi tebakan mereka.



Akhirnya, seseorang mengajukan pertanyaan yang tidak ada yang berani bertanya, pertanyaan yang saya tunggu-tunggu: "Hei, apakah ini mungkin?"



Pertanyaan ini memiliki kekuatan untuk mengubah cara berpikir Anda dalam matematika. Mereka yang berpikir sempit tentang kondisi tertentu sekarang harus berpikir lebih luas tentang bagaimana kondisi ini cocok satu sama lain. Mereka yang bekerja di dalam sistem harus mundur selangkah dan mempelajari sistem itu sendiri. Sepanjang sejarah matematika, pertanyaan ini telah berkali-kali ditanyakan, sehingga dibingungkan oleh mereka yang memecahkan masalah mengkuadratkan lingkaran untuk berkeliling kota Königsberg . Dan pertanyaan ini memungkinkan kita untuk merumuskan apa itu matematika dan bagaimana kita memahaminya.



Misalnya, mencari oktagon dengan properti tertentu sangat berbeda dari tugas untuk menunjukkan bahwa oktagon tidak mungkin ada. Bereksperimen dengan oktagon yang berbeda, kita mungkin menemukan satu oktagon dengan empat sudut siku-siku.









Ini bukan contoh. Faktanya, segi delapan ini tidak memiliki empat sudut siku-siku.



Tetapi keberuntungan tidak berperan dalam membuktikan bahwa segi delapan seperti itu tidak mungkin ada. Dibutuhkan pengetahuan yang mendalam, tidak hanya tentang poligon, tetapi juga matematika itu sendiri. Untuk menjelaskan ketidakmungkinan, kita perlu memahami bahwa hanya dengan asumsi keberadaan suatu objek tidak membuktikan keberadaannya. Definisi, sifat, dan teorema matematika hidup di bawah tekanan dari keterkaitannya. Dalam mencoba merepresentasikan segi delapan dengan empat sudut siku-siku, kita berada dalam aturan yang saling terkait ini.



Tetapi untuk menyadari bahwa segi delapan tidak mungkin, kita perlu mundur dan melihat gambaran besarnya. Prinsip matematika dan geometri apa yang dapat dilanggar oleh segi delapan dengan empat sudut siku-siku? Tempat yang baik untuk memulai di sini adalah dengan menjumlahkan sudut dari sebuah teorema poligon.



Jumlah sudut interior poligon bersisi n ditentukan dengan rumus:

S = ( n - 2) × 180º

Hal ini terjadi karena setiap poligon bersisi n dapat dipotong menjadi segitiga ( n - 2), jumlah sudut interiornya masing-masing adalah 180º.



Dalam kasus segi delapan, ini berarti jumlah sudut interiornya adalah (8 - 2) × 180º = 6 × 180º = 1080º. Kemudian jika empat sudutnya lurus, yaitu masing-masing sudut 90º, maka ini adalah 4 × 90º = 360º dari total sudut. Ini berarti 1080º - 360º = 720º tersisa untuk empat sudut oktagon yang tersisa.



Artinya rata-rata untuk empat sudut yang tersisa haruslah:

$$

$$\frac{720º}{4} = 180º$$

Tapi sudut interior poligon cembung harus kurang dari 180º, hal ini tidak mungkin. Segi delapan cembung dengan empat sudut siku-siku tidak mungkin ada.



Membuktikan ketidakmungkinan dengan cara ini membutuhkan mundur selangkah dan melihat bagaimana berbagai aturan matematika, misalnya, rumus jumlah sudut poligon dan definisi poligon cembung, ada dalam tekanan timbal balik. Dan karena bukti ketidakmungkinan bergantung pada penalaran yang lebih luas atas seperangkat aturan, seringkali ada beberapa cara untuk membangun bukti semacam itu.



Mari kita kembali ke pengamatan sebelumnya bahwa empat sudut siku-siku membentuk persegi panjang.









Sudut luar poligon.



Jika segi delapan memiliki empat sudut siku-siku, kemudian hanya mengelilingi sudut-sudut ini, kita akan membuat lingkaran penuh, seolah-olah kita telah sepenuhnya mengelilingi persegi panjang tersebut. Pikiran ini membawa kita pada aturan yang memberikan bukti kemustahilan lainnya. Diketahui bahwa jumlah sudut luar poligon cembung selalu 360º. Karena sudut luar dari sudut siku-siku juga merupakan sudut siku-siku, keempat sudut siku-siku kita membentuk keseluruhan 360º dari jumlah sudut luar segi delapan. Artinya, sisa empat penjuru tidak memiliki apa-apa lagi, dan kami kembali menetapkan bahwa segi delapan seperti itu tidak mungkin.



Membuktikan sesuatu tidak mungkin adalah peristiwa matematis yang kuat. Ini mengubah sudut pandang kita, kita beralih dari mematuhi aturan menjadi mengendalikan aturan. Dan untuk mengontrol aturan, pertama-tama kita perlu memahaminya. Kita tidak hanya harus tahu bagaimana menerapkannya, tetapi juga situasi di mana mereka tidak dapat diterapkan. Dan juga temukan situasi di mana aturan dapat saling bertentangan. Dalam proses mempelajari oktagon, kami mengidentifikasi hubungan poligon, konveksitas, sudut siku-siku, dan jumlah sudut. Dan ini menekankan bahwa S = ( n - 2) × 180º bukan hanya rumus: ini adalah salah satu kondisi di dunia dengan kondisi yang saling bertentangan.



Bukti ketidakmungkinan dapat membantu kita lebih memahami semua bidang matematika. Di sekolah, pelajaran teori probabilitas sering kali dimulai dengan melempar banyak koin imajiner. Saya mengundang siswa untuk membuat koin penipuan yang memiliki kecenderungan muncul kepala atau ekor, yang memiliki sifat berikut: ketika membalik koin dua kali, hasil dari dua membalik lebih cenderung berbeda dari yang sama. Dengan kata lain, Anda lebih cenderung melempar kepala dan ekor daripada kepala dan ekor atau ekor dan ekor.



Setelah eksperimen dan kegagalan mental, siswa mengajukan hipotesis yang menarik: hasil yang berbeda tidak pernah lebih mungkin daripada sama. Aljabar mengungkapkan hal ini dan menunjukkan kesimetrian yang mendasarinya.



Misalkan koin digeser ke arah kepala. Kami akan menyebut probabilitas mendapatkan kepala$$$\frac{1}{2} + k$dimana $$$0 < k ≤ \frac{1}{2}$... Fakta bahwa$$$k > 0$, menjamin bahwa kepala lebih mungkin daripada ekor dengan probabilitas $$$\frac{1}{2} – k$karena jumlah dari dua probabilitas harus 1.



Jika kita melempar koin dua kali, probabilitas mendapatkan dua kepala atau dua ekor adalah

$$

$$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2}$$

Di sini kami menambahkan kemungkinan mendapatkan dua kepala (sisi kiri) dengan kemungkinan mendapatkan dua ekor (sisi kanan). Dengan menggunakan aljabar, kita dapat menyederhanakan probabilitas untuk mendapatkan hasil yang sama pada kedua gulungan:

$$

$$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2} = \frac{1}{4} + k + k^{2} + \frac{1}{4} – k + k^{2} = \frac{1}{2} + 2k^{2}$$

...

Sejauh$$$k > 0$, Kami tahu itu $$$\frac{1}{2} + 2k^2 > \frac{1}{2}$$, yang berarti bahwa lemparan lebih cenderung memiliki hasil yang sama. Faktanya, kami melihatnya bahkan jika$$$k = 0$ (koin tidak curang), kemungkinan hasil yang sama adalah $$$\frac{1}{2}$, karena kemungkinan hasil lemparan yang berbeda juga $$$\frac{1}{2}$... Hasil yang sama tidak akan pernah kurang mungkin dibandingkan dengan hasil yang berbeda.



Seperti dalam kasus masalah poligon, kita melihat persaingan tekanan matematis yang sedang bekerja: mengubah kemungkinan mendapatkan satu sisi koin mengubah kemungkinan mendapatkan yang lain, dan interkoneksi ini mengontrol ruang kemungkinan untuk hasil dari dua lemparan. Kami mengungkap tekanan ini dengan mencoba mencapai yang mustahil.



Setiap bidang matematika dapat mengalami tekanan seperti itu. Cobalah untuk menemukan enam bilangan bulat berurutan yang berjumlah 342, dan ketekunan Anda akan membawa Anda pada pemahaman yang lebih dalam tentang paritas. (Fakta bahwa bilangan bulat berurutan secara bergantian menjadi ganjil dan genap memengaruhi penjumlahannya.) Menemukan polinomial kubik dengan koefisien bilangan bulat yang memiliki tiga akar non-nyata mengajarkan Anda pentingnya bilangan kompleks konjugasi - pasangan bilangan kompleks, perkalian dan jumlah yang selalu nyata. Dan jika Anda mencoba menuliskan belah ketupat non-persegi panjang ke dalam lingkaran, Anda akan menemukan properti penting dari segiempat siklik - sudut berlawanan dari segiempat, yang simpulnya terletak pada lingkaran, harus berjumlah 180 derajat.



Menghadapi yang tidak mungkin memungkinkan kita menjelajahi batas-batas dunia matematika kita. Hal yang mustahil itu sendiri adalah sejenis generalisasi, jadi wajar jika melanjutkan generalisasi: segi delapan tidak dapat memiliki empat sudut siku-siku, tetapi bagaimana dengan dekagon? Bagaimana dengan poligon cembung dengan n > 4 sisi? Pertanyaan seperti ini masuk ke dalam batasan dunia matematika kita dan memperdalam pemahaman mereka.



Jika kita mendorong batasan lebih jauh, maka hal yang mustahil bahkan dapat menginspirasi penciptaan dunia matematika baru. Untuk membuktikan ketidakmungkinan mengkuadratkan lingkaran(masalah ini setidaknya berusia dua ribu tahun), diperlukan teori modern tentang bilangan transendental, yang tidak dapat menjadi akar dari polinomial integer. Untuk memecahkan masalah tujuh jembatan Königsberg, Euler mengubah pulau dan jembatan menjadi simpul dan tepi, melahirkan bidang besar teori grafik dan teori jaringan, serta banyak aplikasinya. Mengambil akar kuadrat dari −1 menghasilkan sistem aritmatika yang benar-benar baru . Dan ahli logika Kurt Gödel mengubah matematika selamanya, membuktikan bahwa tidak mungkin membuktikan bahwa segala sesuatu yang benar adalah benar.



Jadi, lain kali Anda menghadapi masalah matematika, tanyakan pada diri Anda, "Apakah itu mungkin?" Menghadapi ketidakmungkinan dapat memberi Anda pemahaman yang lebih dalam tentang apa yang mungkin. Dengan melakukannya, Anda bahkan dapat membuat bidang matematika baru.

Latihan

1. Cari luas segitiga dengan panjang sisinya 46, 85, dan 38.



2. Let$$$f (x) = 2x^3 + bx^2 + cx + d$... Temukan keseluruhan tersebut$$$b$, $$$c$ dan $$$d$di mana $$$f \left(\frac{1}{4}\right) = 0$...



3. Temukan kuadrat lengkap yang semua bilangan penyusunnya termasuk dalam himpunan {2, 3, 7, 8}.

Jawaban

---

Periklanan

Apapun kebutuhan Anda, server yang terjangkau dan dapat diandalkan selalu diterima . Bahkan untuk kalkulasi matematis yang rumit, konfigurasi maksimumnya adalah 128 core CPU, RAM 512 GB, NVMe 4000 GB.