Ada fakta misterius tentang transformasi linier: beberapa di antaranya, yaitu penskalaan dan translasi non-seragam, untuk beberapa alasan membedakan antara vektor "biasa" dan normal. Ketika kita mengubah vektor "normal" dengan matriks, maka untuk beberapa alasan normals perlu ditransformasikan oleh matriks transposisi terbalik. Bagaimana memahami ini?

Dengan bantuan perhitungan sederhana, Anda dapat memastikan bahwa matriks transposisi terbalik mempertahankan tegak lurus dari normal terhadap bidang singgung. Sampai batas tertentu, bukti ini sudah cukup, tetapi melewatkan cerita yang lebih dalam dan lebih menarik tentang geometri di balik itu semua. Ini adalah kisah yang ingin saya ceritakan dalam beberapa artikel berikutnya.

Unit dan penskalaan

Berikut ikhtisar singkat sebelum kita menggali inti dari artikel. Pertimbangkan penskalaan seragam lama yang baik (satu faktor di semua sumbu). Sulit untuk memikirkan transformasi yang lebih tidak berbahaya - itu hanya perkalian semua vektor dengan bilangan yang sama.

Tetapi setelah diperiksa lebih dekat, sesuatu yang tidak sepenuhnya sepele terjadi di sini. Jumlah tertentu membawa serta "dimensi" atau "satuan" fisik seperti panjang, luas, dan volume. Saat penskalaan, nilai-nilai ini berubah sesuai dengan unitnya. Beberapa nilai umumnya "tanpa dimensi" dan tidak berubah saat diskalakan.

Sebagai contoh, mari kita buat daftar semua kemungkinan perilaku unit saat melakukan penskalaan dalam ruang 3D. Kami menunjukkan faktor skala sebagai $a>0$ ... Kemudian:

, $a^0$ .
$a$ .
$a^2$ .
$a^3$ .

: , :
$1\over{a}$ .
$1\over{a^2}$ .
$1\over{a^3}$ .

, , . 3D- , , , .

, ( ) , : , ( ), , - . , -3 3. , $k$ - , $a^k$ .

( $\pm 4$ , . , 3D.)

, - . ? ? ? -, .

, . , . , Geometric Algebra for Computer Science. .

— , , , , . $k$ -, $k$ — . , — . .

— ( ) , . , , . , .

, , . , . , . , , , .

gambar

, — , , . , , , , .

. , , . , , "" "", "" "". , , .

́ , . , $k$ - . .

$k$ -

, . $v=(x, y, z)$ , , $v$ :

v = x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}

$v=x{\bf e_x}+y{\bf e_y}+z{\bf e_z}$

${\bf e_x}$ , ${\bf e_y}$ , ${\bf e_z}$ , $y$ , $z$ . $B$ :

B = p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}

$B=p{\bf e_{yz}}+q{\bf e_{zx}}+r{\bf e_{xy}}$

${\bf e_{xy}}$ — , $xy$ . ${\bf e_{yz}}$ ${\bf e_{zx}}$ . , , . " " $(p, q, r)$ , .

gambar

:

T = t e_{x y z}

$T=t{\bf e_{xyz}}$

, 3D , : "" $(xyz)$ . — ${\bf e_{xyz}}$ .

, : ( 1), ( 2) ( 3). 0. , , , $\wedge$ . , , :

e_{x} \land e_{y} = e_{x y}

${\bf e_x}\wedge{\bf e_y} = {\bf e_{xy}}$

, , . , ( ).

, "" . , , . , .

, , .

e_{x} \land e_{y} \land e_{z} = e_{x y} \land e_{z} = e_{x y z}

${\bf e_x}\wedge{\bf e_y}\wedge{\bf e_z} = {\bf e_{xy}}\wedge{\bf e_z}={\bf e_{xyz}}$

" ", , , .

, . . $a$ :

(a u) \land v = u \land (a v) = a (u \land v)

$(au)\wedge v=u\wedge (av) = a(u\wedge v)$

, . $u, v$ :

u \land v = - (v \land u)

$u\wedge v=-(v\wedge u)$

. -, : $v\wedge v=0$ . , . , $u\wedge v=0$ $u$ $v$ . , $u\wedge v\wedge w=0$ $u, v, w$ .

3 . , .

$k$ -

, , — , — . ?

, , - . $a>0$ , $a, a^2, a^3$ . , , .

, :

v \mapsto M v

$v\mapsto Mv$

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} a x \\ a y \\ . a z \end{matrix}] = a v

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ ay \\. az \end{bmatrix} = av$

$v$ , $x, y, z$ , , $a$ , , .

? ( ), . . , , :

\begin{aligned} B & = u \land v \\ (u \land v) & \mapsto (M u) \land (M v) \\ = (a u) \land (a v) \\ = a^{2} (u \land v) \\ = a^{2} B \end{aligned}

$\begin{aligned} B &= u \wedge v \\ (u \wedge v) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \\ &= (au) \wedge (av) \\ &= a^2 (u \wedge v) \\ &= a^2 B \end{aligned}$

! , $a$ , $a^2$ , .

, . , - $a^3$ . :

\begin{aligned} T & = (u \land v \land w) \\ (u \land v \land w) & \mapsto (M u) \land (M v) \land (M w) \\ = (a u) \land (a v) \land (a w) \\ = a^{3} (u \land v \land w) \\ = a^{3} T \end{aligned}

$\begin{aligned} T &= (u \wedge v \wedge w) \\ (u \wedge v \wedge w) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \wedge (Mw) \\ &= (au) \wedge (av) \wedge (aw) \\ &= a^3 (u \wedge v \wedge w) \\ &= a^3 T \end{aligned}$

. , ?

, . 3 $x$ , . :

M = [\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

: $x$ 3, $y, z$ . , : , $x$ , $yz$ — .

gambar

? . , "" . $x$ , . : , $yz$ , , , $x$ , .

gambar

, . , , :

B = p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}

$B = p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}$

$M$ , . $M$ :

\begin{aligned} e_{y z} = e_{y} \land e_{z} & \mapsto (M e_{y}) \land (M e_{z}) = e_{y} \land e_{z} = e_{y z} \\ e_{z x} = e_{z} \land e_{x} & \mapsto (M e_{z}) \land (M e_{x}) = e_{z} \land 3 e_{x} = 3 e_{z x} \\ e_{x y} = e_{x} \land e_{y} & \mapsto (M e_{x}) \land (M e_{y}) = 3 e_{x} \land e_{y} = 3 e_{x y} \end{aligned}

$\begin{aligned} {\bf e_{yz}} = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_y}) \wedge (M{\bf e_z}) = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} = {\bf e_{yz}} \\ {\bf e_{zx}} = {\bf e_z} \wedge {\bf e_x} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_z}) \wedge (M{\bf e_x}) = {\bf e_z} \wedge 3{\bf e_x} = 3{\bf e_{zx}} \\ {\bf e_{xy}} = {\bf e_x} \wedge {\bf e_y} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_x}) \wedge (M{\bf e_y}) = 3{\bf e_x} \wedge {\bf e_y} = 3{\bf e_{xy}} \end{aligned}$

: $\bf e_{yz}$ , $\bf e_{zx}$ $\bf e_{xy}$ 3, $x$ .

, $M$ $B$ :

B \mapsto p e_{y z} + 3 q e_{z x} + 3 r e_{x y}

$B \mapsto p \, {\bf e_{yz}} + 3q \, {\bf e_{zx}} + 3r \, {\bf e_{xy}}$

, , $B$ , :

[\begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix}] = [\begin{matrix} p \\ 3 q \\ 3 r \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ 3q \\ 3r \end{bmatrix}$

, , . : $M$ .

: $M$ :

M^{- T} = [\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M^{-T} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

, — $M$ .

$\det M$ . ( $M$ , $\det M$ ). $M$ . , , !

— , . .

$n\times n$ . $i$ - $j$ - :

$n\times n$ $i$ $j$ . $(n-1)\times (n-1)$ .
.
$(-1)^{i+j}$ , $i+j$ . !

$n\times n$ , .

, ? $p \, {\bf e_{yz}}$ . $yz$ , , $M$ $y$ $z$ . $1,1$ $M$ $2\times2$ , $M$ $y$ $z$ . , , $yz$ !

- , ${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ , , $M$ . , , $M$ . , , .

( , . ${\bf e_{xz}}$ ${\bf e_{zx}}$ . .)

, , $n$ $(n-1)$ - . , $k$ - $(n-k)$ - , $n-k$ .

. . : 3D. , $(p, q, r)$ — $(x, y, z)$ !

. , . , $B$ :

B \land v = 0

$B\wedge v=0$

$v$ , $B$ , . , , , $B$ $v$ .

\begin{matrix} (p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}) \land (x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}) = 0 \\ (p x e_{y z x} + q y e_{z x y} + r z e_{x y z}) = 0 \\ (p x + q y + r z) e_{x y z} = 0 \\ p x + q y + r z = 0 \end{matrix}

$\begin{gathered} (p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}) \wedge (x \, {\bf e_x} + y \, {\bf e_y} + z \, {\bf e_z}) = 0 \\ (px \, {\bf e_{yzx}} + qy \, {\bf e_{zxy}} + rz \, {\bf e_{xyz}}) = 0 \\ (px + qy + rz) {\bf e_{xyz}} = 0 \\ px + qy + rz = 0 \\ \end{gathered}$

. , , (, ${\bf e_{yz}} \wedge {\bf e_y} = 0$ ). $\bf e_{xyz}$ , , . . , $\bf e_{xyz}$ .

$(p, q, r)$ $(x, y, z)$ ! , $n\cdot v = 0$ $n=(p, q, r)$ .

, $(p, q, r)$ ${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ ${\bf e_x}, {\bf e_y}, {\bf e_z}$ . , . , . .

, - . — . ( ) " ".

, . , "" , . ? , , ? , , ( ). .

: , , -3 3. , $k$ - $k$ 0 sampai 3. Tapi bagaimana dengan unit vektor dengan skala derajat negatif? Apakah mereka ada? Jika ya, apakah itu?

Di episode berikutnya, kita akan membahas lebih dalam dan memperumit cerita geometris kita.

Transposisi normal dan terbalik, bagian 1: aljabar luar

Unit dan penskalaan

$k$ -

$k$ -

More articles:

Transposisi normal dan terbalik, bagian 1: aljabar luar

Unit dan penskalaan

kk-

kk-

More articles:

$k$ -

$k$ -