Dua ahli matematika membuktikan tahap pertama dari dugaan favorit Erdis tentang pola dalam urutan angka
Sepasang ahli matematika membuktikan bagian pertama dari salah satu hipotesis paling terkenal tentang sifat aditif bilangan bulat. Ini diusulkan lebih dari 60 tahun yang lalu oleh matematikawan Hongaria yang legendaris Pal Erdos . Kedengarannya seperti ini: pada titik mana dalam daftar bilangan bulat yang tak terbatas dijamin pola setidaknya tiga angka yang berjarak pada jarak yang sama satu sama lain - misalnya, 26, 29 dan 32.
Erdos telah merumuskan ribuan masalah selama karirnya, tetapi pertanyaannya adalah, daftar angka mana yang berisi angka-angka yang jaraknya sama satu sama lain (yang oleh para ahli matematika disebut perkembangan aritmatika) adalah salah satu favoritnya. “Saya pikir banyak orang melihat ini sebagai perhatian utama Erds,” kata Timothy Gowers dari University of Cambridge. Gowers, yang menerimaFields Prize pada tahun 1998, menghabiskan waktu berjam-jam mencoba memecahkan masalah ini. “Hampir semua kombinatorika aditif yang cukup ambisius telah mencoba untuk menyelesaikannya,” katanya, mengacu pada cabang matematika yang memiliki hipotesis ini.
Daftar angka yang lebih padat umumnya lebih mungkin berisi perkembangan aritmatika daripada yang jarang. Oleh karena itu, Erds mengusulkan pemeriksaan sederhana untuk kepadatan daftar: tambahkan kebalikan dari yang ada di daftar. Jika ada cukup bilangan untuk membuat jumlah ini tak terhingga, maka, menurut Erdös, daftar tersebut harus berisi progresi aritmatika dalam jumlah tak terhingga dengan panjang berhingga - tiga, empat, dll. nomor berturut-turut.
Dalam makalah yang diterbitkan online pada 7 Juli oleh Thomas Bloom dari Cambridge dan Olaf Sisaskdari Universitas Stockholm membuktikan hipotesis ini dalam kasus triplet angka yang berjarak sama - seperti 5, 7 dan 9. Pasangan ini menunjukkan bahwa ketika jumlah kebalikan dari angka-angka dalam daftar tidak terbatas, pasti ada banyak tripel angka yang sama spasi di dalamnya.
Thomas Bloom dari Cambridge
"Ini adalah hasil yang paling luar biasa selama bertahun-tahun," kata Nets Katz dari California Institute of Technology. "Ini adalah peristiwa penting."
Salah satu himpunan, jumlah bilangan resiprokal yang cenderung tak terhingga, adalah bilangan prima - bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Pada tahun 1930-an Johannes van der Corputmenggunakan struktur khusus bilangan prima untuk menunjukkan bahwa di dalamnya Anda memang dapat menemukan triplet dengan jarak yang sama dalam jumlah tak terbatas (misalnya, 17, 23, dan 29).
Namun, penemuan baru Bloom dan Sisask berarti bahwa seseorang tidak perlu memahami secara mendalam struktur unik bilangan prima untuk membuktikan bahwa ada jumlah tripel yang tak terbatas di dalamnya. Cukup untuk mengetahui hanya bahwa ada cukup bilangan prima untuk jumlah nilai timbal baliknya menjadi tak terbatas - dan ini telah diketahui oleh ahli matematika selama berabad-abad. “Hasil Thomas dan Olaf memberi tahu kita bahwa meskipun struktur mereka benar-benar berbeda dari yang sebenarnya mereka miliki, fakta bahwa memiliki sejumlah besar dari mereka akan menjamin perkembangan aritmatika yang tak terbatas,” tulis Tom Sanders kepada kamidari Universitas Oxford.
Karya baru ini terdiri dari 77 halaman, dan perlu beberapa waktu bagi ahli matematika untuk memeriksanya secara menyeluruh. Namun, banyak yang optimis akan hal itu. “Tampaknya bukti dari klaim ini harus terlihat,” kata Katz, yang pekerjaan awalnya menjadi dasar untuk ini.
Teorema Bloom dan Sisask mengatakan bahwa jika daftar angka cukup padat, pola tertentu akan muncul di dalamnya. Penemuan ini konsisten dengan motto fundamental matematika, sebagaimana Sarah Pillus dari Oxford menyebutnya , yang pertama kali dirumuskan oleh Theodore Motzkin: "Tidak ada kekacauan mutlak."
Kepadatan terselubung
Sangat mudah untuk membuat daftar tak terbatas tanpa perkembangan aritmatika jika Anda membuatnya cukup jarang. Misalnya, pertimbangkan urutan 1, 10, 100, 1.000, 10.000, ... Kebalikannya berjumlah 1,111 (1). Jarak antara angka-angka ini tumbuh begitu cepat sehingga tidak ada satu pun triplet angka yang terletak pada jarak yang sama satu sama lain dapat ditemukan.
Namun, Anda mungkin bertanya-tanya apakah ada daftar angka yang lebih padat yang masih belum memiliki perkembangan aritmatika. Anda dapat, misalnya, berjalan di sepanjang garis bilangan dan meninggalkan setiap bilangan yang tidak termasuk dalam perkembangan aritmatika. Kita mendapatkan urutan 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14,… yang sekilas terlihat agak padat. Namun, seiring waktu, itu menjadi semakin jarang - misalnya, ketika kita mendapatkan angka 20 digit, kita hanya akan mengambil 0,000009% dari semua bilangan bulat dari garis bilangan. Pada tahun 1946, Felix Berend muncul dengan contoh yang lebih padat, tetapi mereka juga menjadi sangat jarang - himpunan Berend, mencapai angka 20-digit, hanya mengandung 0,001% dari semua bilangan bulat.
Di sisi lain, jika himpunan Anda berisi hampir semua bilangan bulat, maka pasti akan berisi urutan aritmatika. Namun di antara kedua ekstrem ini terdapat wilayah tengah yang luas dan hampir tidak bertanda. Seberapa jarang suatu himpunan, para ahli matematika berspekulasi, sehingga perkembangan aritmatika masih bisa dijamin di sana?
Olaf Sisask dari Universitas Stockholm
Erdos (seperti yang mereka katakan, mungkin dalam hubungannya dengan ahli matematika Hongaria Pal Turan) memberikan satu kemungkinan jawaban. Kondisinya untuk jumlah resiprokal adalah kepadatan bertopeng. Ternyata hal ini sama dengan mengatakan bahwa kepadatan daftar hingga bilangan N tidak kurang dari satu dibagi dengan jumlah digit di N. Dengan kata lain, daftar Anda mungkin menjadi semakin jarang saat Anda bergerak di sepanjang garis bilangan, tetapi hanya jika itu terjadi sangat lambat. Pada angka 5 digit, kepadatan daftar Anda setidaknya harus 1/5; pada 20 digit - setidaknya 1/20, dan seterusnya. Dan jika kondisi ini terpenuhi, maka, seperti yang disarankan Erdos, daftar Anda harus berisi progresi aritmatika dalam jumlah tak terbatas dengan panjang berapa pun.
Pada tahun 1953, Klaus Roth mengarahkan matematikawan ke jalur yang mengarah ke bukti dugaan Erd. Dalam makalah yang memberinya Hadiah Bidang tahun itu, dia mendefinisikan fungsi kepadatan yang menjamin triplet angka yang sama jauhnya. Kepadatannya tidak serendah Erds, namun tetap mendekati nol saat kami bergerak di sepanjang garis bilangan. Teorema Roth berarti bahwa dalam daftar angka yang kepadatannya akhirnya turun di bawah 1%, dan kemudian di bawah 0,1%, dan kemudian di bawah 0,01%, dan seterusnya, harus ada perkembangan aritmatika, jika hanya kepadatannya turun cukup lambat.
Kuliah Pal Erd "60 Tahun dalam Matematika" di Universitas Cambridge pada Juni 1991.
Pertama-tama, pendekatan Roth didasarkan pada fakta bahwa sebagian besar daftar dengan kepadatan yang dia pilih "ingin" memiliki perkembangan aritmatika - mereka memiliki pasangan angka yang cukup berbeda sehingga hampir pasti beberapa titik tengah antara pasangan ini juga muncul di daftar ini, yang akan menyebabkan munculnya kembar tiga dengan jarak yang sama. Triknya adalah bagaimana beralih dari daftar "hampir semua" ke daftar "semua" nomor, meskipun seluruh struktur dapat dirancang khusus untuk menghindari perkembangan aritmatika.
Setelah menerima daftar seperti itu, Roth menemukan cara "menyaring" strukturnya dengan menandai "spektrum frekuensi" -nya menggunakan transformasi Fourier... Ini menunjukkan pola mana yang paling menonjol - matematika yang sama mendasari teknologi seperti kristalografi sinar-X dan radiospektroskopi.
Beberapa frekuensi tampak lebih kuat daripada yang lain, dan variasi ini menekankan pola yang ada - misalnya, frekuensi dapat menunjukkan bahwa daftar berisi lebih banyak angka ganjil daripada yang genap. Jika demikian, maka Anda dapat berkonsentrasi hanya pada bilangan ganjil, dan mendapatkan daftar yang lebih padat dibandingkan dengan daftar hanya bilangan ganjil. Roth mampu menunjukkan bahwa setelah beberapa penyulingan seperti itu, daftar akan menjadi begitu padat sehingga perkembangan aritmatika harus ada di dalamnya.
Pendekatan Roth telah mengilhami banyak makalah dalam teori bilangan analitik selama lima puluh tahun terakhir, kata Jacob Fox dari Universitas Stanford. "Ide-idenya sangat berpengaruh."
Game, set, cocok
Namun, metode Roth hanya bekerja untuk kumpulan angka yang sudah cukup padat sejak awal - jika tidak, distilasi konstan hanya akan menguapkan semua angka. Matematikawan lain terus-menerus menemukan cara untuk menggunakan metode ini lebih dan lebih efektif, tetapi mereka tidak bisa mendekati kepadatan yang dijelaskan dalam hipotesis Erds. "Rintangan ini tampak sangat sulit," kata Fox.
Kemudian pada tahun 2011, Katz dan Michael Bateman menemukan cara mengatasi kendala ini dengan lebih sederhana: dalam permainan kartu Seth, di mana pemain mencari set tiga kartu yang ditandai dengan simbol berbeda. Tiga dari permainan Set dapat didefinisikan sebagai perkembangan aritmatika, dan, seperti dalam kasus daftar bilangan bulat, Anda dapat menanyakan berapa banyak dari semua kartu yang Anda butuhkan untuk diletakkan di atas meja untuk menemukan setidaknya satu tiga yang pasti.
Game "Set"
Tujuan permainan ini adalah untuk menemukan triplet khusus dari kartu, atau "set", dalam setumpuk 81 kartu. Setiap kartu memiliki gambarnya sendiri dengan empat properti - warna (merah, ungu, hijau), bentuk (oval, belah ketupat, gelombang), bayangan (garis besar, garis, terisi lengkap) dan jumlah bentuk (satu, dua atau tiga). Dalam permainan normal, 12 kartu dibagikan menghadap ke atas di atas meja, dan pemain mencari set tiga kartu di mana masing-masing dari empat atributnya sama untuk semua kartu atau berbeda untuk semua kartu. Jika tidak ada set seperti itu di antara 12 kartu, lebih banyak kartu ditambahkan.
Seluruh dek
, –
| ? |  |
 |
 |
 |
Cara mudah untuk mengumpulkan set kartu yang cukup besar tanpa triplet adalah dengan hanya mengambil kartu yang hanya memiliki dua atau tiga pilihan untuk setiap atribut. Ukuran dari koleksi ini adalah (2/3) n dari keseluruhan tumpukan, di mana n adalah jumlah atribut.
Pertanyaan ini (tidak hanya terkait dengan permainan Set standar, tetapi juga dengan versi yang lebih besar) adalah model alami untuk mempelajari pertanyaan terkait tentang bilangan bulat. Oleh karena itu, para matematikawan berharap terobosan Bateman dan Katz dapat membuka jalan untuk membuktikan dugaan Erd, terutama bila digabungkan dengan terobosan baru lainnya . Segera setelah rilis karya Bateman dan Katz, Gowers meluncurkan " proyek polymath"- sebuah kolaborasi bersama besar dirancang untuk membuat usaha.
Namun, proyek ini cepat terhenti" Di dalamnya berkumpul sejumlah besar argumen teknis, - katanya Gowers -. Proyek ini lebih cocok untuk satu atau dua orang, untuk waktu yang lama dan perlahan-lahan bekerja di atasnya "..
Dengan Untungnya, beberapa ahli matematika baru saja mempersiapkan hal ini. Bloom dan Sisask, pada awalnya secara terpisah, sudah mulai merenungkan hipotesis Erd, terpikat oleh keindahan teknik yang digunakan di dalamnya. "Ini adalah salah satu masalah penelitian pertama yang saya hadapi," kata Sisask , yang, seperti Bloom, kini berusia sekitar 35 tahun.
Bloom dan Sisask bergabung pada 2014, dan pada 2016 mereka memutuskan bahwa mereka hampir mencapai solusi. Bloom bahkan mengumumkan hal ini dalam ceramahnya, dan hanya setelah itu dia menemukan bahwa beberapa solusi yang mereka temukan ternyata salah. Pasangan itu terus bekerja, menyelami metode Bateman dan Katz, dan akhirnya menyadari ide-ide baru apa yang memungkinkan mereka untuk mentransfer metode ini dari dunia Seth ke dunia integer.
Pekerjaan baru tampaknya benar dari setiap sudut, kata Katz. "Saya tidak percaya pernyataan mereka sebelumnya, tapi saya percaya ini."
Karya Bloom dan Sisask adalah "pencapaian luar biasa," kata Fox. Mereka dan ahli matematika lainnya sangat ingin mengetahui apakah teknik dari karya baru tersebut dapat diterapkan pada masalah lain. “Saya pikir metode ini akan berdampak besar pada matematika,” kata Fox.
Adapun hipotesis Erd secara keseluruhan, pengerjaannya masih jauh dari selesai. Bloom dan Sisask membuktikan hipotesis ini hanya untuk triplet angka dengan jarak yang sama, tetapi tidak untuk perkembangan aritmatika yang lebih panjang - tugas ini masih di luar jangkauan.
Dan bahkan pertanyaan bertiga, yang telah ditutup oleh Bloom dan Sisask, menurut banyak ahli matematika, tidak terlalu membantu. Meskipun sulit untuk membuktikan bahwa kerapatan Erds menjamin triplet bilangan dengan jarak yang sama, para ahli matematika menduga bahwa kerapatan sebenarnya di mana jaminan ini berhenti bekerja jauh lebih rendah - mungkin sedikit lebih tinggi daripada kerapatan himpunan yang dirancang Berend.
"Ini bukan untuk mengatakan bahwa kami telah sepenuhnya memecahkan masalah ini, - kata Bloom. "Kami menjelaskan lebih banyak tentang dia."
Bloom dan Sisask mungkin telah memeras yang terbaik dari metode saat ini, kata Fox. “Harus ada beberapa alat yang benar-benar baru yang akan memungkinkan kita untuk bergerak lebih jauh dan mendapatkan hasil yang jauh lebih baik,” katanya. Namun, "ini mungkin bukan akhir dari cerita."