Mengaduk gula dalam teh atau kopi di pagi hari, Anda akan melihat bahwa bentuk permukaan air dalam gelas berbentuk corong. Tentang apa bentuk ini yang telah lama dipikirkan orang, misalnya, ada artikel di Habré , yang mengklaim bahwa itu adalah paraboloid (parabola, jika Anda melihat di bagian). Namun, mudah untuk melihat bahwa ini sebenarnya bukan parabola. Atau lebih tepatnya, bukan parabola sama sekali. Dan apa itu?
Untuk menghitung bentuk apa yang akan diambil air (atau cairan lain) dalam gelas, perlu memperhitungkan viskositas dan efek dinding kaca. Oleh karena itu, di sini perlu digunakan persamaan Navier-Stokes untuk fluida tak termampatkan kental. Karena kaca memiliki bentuk silinder, persamaan Navier-Stokes harus ditulis dalam koordinat silinder, di mana sumbu z berjalan di sepanjang pusat kaca dan diarahkan ke atas, dan r adalah jarak dari sumbu ini. Secara umum persamaan Navier-Stokes dalam koordinat silinder adalah sebagai berikut (Hidrodinamika Landau-Lifshitz):
Di sini ro adalah densitas cairan, dan nu adalah viskositas kinematik.
Sangat sulit untuk menyelesaikan sistem persamaan seperti itu dalam bentuk analitik, jadi kami akan membuat dua penyederhanaan yang masuk akal. Pertama, kita akan berasumsi bahwa bagian bawah gelas tidak mempengaruhi bentuk cairan, mis. gelasnya cukup dalam. Kedua, kita akan berasumsi bahwa kecepatan rotasi cairan dalam lingkaran jauh lebih besar daripada kecepatan pergerakan cairan ke atas dan ke bawah dan dari pusat kaca ke dan dari dindingnya. itu. kecepatan ini dapat diabaikan. Dengan mempertimbangkan penyederhanaan seperti itu, persamaan ketiga dari sistem kami akan berubah menjadi identitas, dan dua sisanya akan terlihat seperti ini:
Tekanan di dalam cairan pada setiap titik berbanding lurus dengan kolom cairan di atas titik ini dan dihitung menggunakan rumus terkenal:
g - , y - z, , , . , :
, omega , , :
, , , , . :
, , , . , , , , :
, :
, , ,
r. , :
, r:
:
:
r :
, . , :
:
:
. , , , , , :
.
R - ,
, :
, , , :
, :
C - . , :
:
Sekarang mari kita temukan, sebenarnya, bentuk permukaannya. Untuk melakukan ini, kami mengganti nilai kecepatan tangensial ke dalam persamaan untuk y:
Kami mengintegrasikan dan mendapatkan:
Di sini C1 dan C2 adalah konstanta tergantung pada seberapa banyak kita memutar cairan dan kedalaman gelas kita. Profil cairan berputar kami akan terlihat seperti ini:
Dan jika Anda merepresentasikannya dalam 3d, maka seperti ini:
Jika ini terlihat seperti teh asli yang Anda miliki di pagi hari, tulis di komentar.