Ketidaklengkapan sains: bagaimana Kurt Gödel hidup dan apa yang dia buktikan?

“Pencapaian Kurt Gödel dalam logika modern sangat unik dan monumental. Jelas, ini adalah sesuatu yang lebih dari sekadar monumen bagi seorang ilmuwan, ini adalah bintang pemandu, yang cahayanya akan terus menyebar di ruang dan waktu selamanya." 



John von Neumann

Menjelang kematian, Kekaisaran Austro-Hungaria memberi umat manusia banyak pikiran yang hebat. Nama-nama besar seperti Erwin Schrödinger, Sigmund Freud dan Stefan Zweig mungkin sudah dikenal oleh semua orang, termasuk bahkan mereka yang sangat jauh dari dunia fisika, psikoanalisis, atau sastra klasik. Tidak banyak yang mengenal karya Kurt Gödel, meskipun skala kontribusinya terhadap matematika sebanding dengan Einstein di bidang fisika. Lagi pula, jika teori relativitas dan teori kuantum membantu umat manusia melihat dari sudut yang sama sekali berbeda pada hukum alam semesta, maka teorema Gödel memaksa para ilmuwan untuk mempertimbangkan kembali ide-ide mereka tentang metodologi ilmiah dan prinsip-prinsip pikiran manusia.

Logika sebagai cara hidup

Kurt Friedrich Gödel lahir pada 28 April 1906 di kota Brunn, Austria-Hongaria (sekarang kota resmi Republik Ceko Brno), dalam keluarga pedagang Austria Rudolf August Gödel, yang menjalankan sebuah pabrik tekstil besar. Meskipun Kurt sejak kecil menunjukkan kemampuan luar biasa untuk bahasa (bahkan di masa mudanya ia menguasai bahasa Inggris dan Prancis, setelah belajar berbicara tidak lebih buruk daripada bahasa Jerman asalnya), namun, kariernya sebagai ahli bahasa tidak menarik baginya. Setelah lulus dari sekolah pada tahun 1923, pemuda itu memasuki Universitas Wina, dua kursus pertama yang ia dedikasikan untuk studi fisika, tetapi kemudian beralih ke matematika, yang sangat difasilitasi dengan membaca buku Bertrand Russell "Pengantar Filsafat dari Matematika."





Kurt Gödel muda, 1925



Lingkaran Filsafat Neopositivis Wina, yang dibuat di bawah kepemimpinan Moritz Schlick, Profesor Departemen Ilmu Induktif, tidak kurang berpengaruh pada pembentukan Kurt Gödel sebagai ilmuwan. Di berbagai waktu, filsuf dan ahli logika Rudolf Carnap, sosiolog dan ekonom Otto Neurath, filsuf Herbert Feigl, matematikawan dan mekanik Richard von Mises, dan banyak ilmuwan terkemuka lainnya pada awal abad ke-20, mengambil bagian dalam karya Wina. Lingkaran. 





Filsuf Jerman-Austria, pendiri Lingkaran Wina Moritz Schlick



Sejak 1926, Kurt Gödel tidak pernah melewatkan satu pun seminar “Kamis” di Lingkaran Wina dan berpartisipasi dalam semua konferensi internasional yang diselenggarakan oleh para pendirinya. Pemuda itu menunjukkan minat khusus dalam bidang-bidang seperti logika matematika dan teori pembuktian. Namun, peran kunci dalam karir ilmiahnya lebih lanjut dimainkan oleh kunjungan ke Kongres Internasional Matematikawan Kedelapan, yang diadakan di Bologna pada tahun 1928, di mana Gödel beruntung mendengarkan ceramah oleh David Hilbert sendiri tentang kelengkapan dan konsistensi sistem aksiomatik. . Studi tentang masalah ini membentuk dasar untuk karya ilmiah Kurt di masa depan: pada tahun 1930, Gödel dengan cemerlang mempertahankan disertasinya "Tentang Kelengkapan Kalkulus Logika", pada saat yang sama membuat salah satu penemuan terbesar dalam sejarah matematika.



Kelihatannya orang yang berpikiran seperti ini seharusnya adalah seorang materialis yang lazim, tetapi ini sama sekali tidak terjadi. Tidak seperti banyak rekannya, Gödel tetap menjadi teis sampai akhir hayatnya, meskipun ia tidak mengidentifikasi dirinya dengan salah satu denominasi yang ada. Seorang ilmuwan pernah merumuskan 14 prinsip dan keyakinan dasar yang mendasari pandangan dunianya sendiri:

1. Dunia ini cerdas.
2. Pada prinsipnya, dengan mengikuti teknik-teknik tertentu, seseorang mampu mengembangkan kemampuan mentalnya ke tingkat yang lebih tinggi.
3. Ada metode sistematis untuk memecahkan masalah apa pun.
4. Ada dunia lain dan makhluk cerdas lainnya, termasuk dunia yang lebih tinggi.
5. Dunia tempat kita hidup bukanlah satu-satunya dunia tempat kita akan hidup atau pernah hidup sebelumnya.
6. Jumlah apa yang dapat dipelajari secara apriori jauh lebih besar daripada apa yang diketahui saat ini.
7. .
8. . 
9. .
10. .
11. , .
12. .
13. () , ; .
14. , — .

Bagi sebagian orang, "keyakinan ilmiah" Gödel yang khas mungkin tampak kontradiktif atau bahkan kacau. Tetapi semuanya jatuh pada tempatnya jika Anda memahami prinsip utama, yang diikuti oleh ahli matematika hebat yang membangun fondasi realitas di sekitarnya, bata demi bata. Di garis depan, ia selalu menempatkan kemungkinan pembuktian logis dari satu teori atau lainnya, dengan lemah lembut menolak konsep yang saling bertentangan, terlepas dari statusnya.



Dalam hal ini, sikap Gödel terhadap ajaran evolusi Charles Darwin, yang umumnya diakui di kalangan ilmiah, sangat indikatif - ahli matematika menganggapnya sama sekali tidak dapat dipertahankan.



"Kompleksitas organisme hidup harus ditentukan baik oleh kompleksitas 'materi' yang menyusunnya, atau oleh kompleksitas hukum yang dengannya mereka berkembang."



Gödel menolak kemungkinan kemunculan spontan dari sistem kompleks seperti itu, yang merupakan organisme hidup, dari komponen dasar, atau pengembangan bentuk kehidupan yang lebih sempurna dari yang primitif. Memang, dari sudut pandang logika, gagasan mengubah yang sederhana menjadi kompleks bertentangan dengan akal sehat. Meskipun beberapa pengecualian untuk aturan ini masih ada: metamorfosis seperti itu menjadi mungkin jika dunia disusun dan diatur sedemikian kompleks sehingga hukumnya sendiri berkontribusi pada keteraturan dan komplikasi yang konsisten dari ibu yang hidup, atau seseorang dengan sengaja mengarahkan dan mengendalikan proses evolusi sehingga ia hanyalah bukti tidak langsung dari keberadaan beberapa kekuatan yang lebih tinggi.



Perlu dicatat bahwa keinginan bawaan untuk pemahaman logis tentang dunia tidak selalu menguntungkan ilmuwan. Pengagum karya Mark Zakharov mungkin akan mengingat adegan dari film "The Same Munchausen", di mana baron menggagalkan proses perceraiannya sendiri, menuliskan tanggal yang tidak ada dalam dokumen - 32 Mei. Matematikawan hebat itu sendiri hampir menemukan dirinya dalam situasi yang sama: jika Munchausen menderita karena cintanya pada kebenaran (menurut plot film, satu hari ekstra adalah penemuan astronomisnya), maka Kurt Gödel hampir dikecewakan oleh kesempurnaannya. logika.





Seperti Baron Munchausen, Kurt Gödel hampir menderita karena keyakinannya. Ini



terjadi pada tahun 1940, ketika, setelah Anschluss, Gödel, seperti banyak rekannya, dipaksa untuk beremigrasi ke Amerika Serikat, di mana ia kemudian menjadi profesor di Institut Princeton untuk Studi Lanjutan. Sesuai dengan peraturan untuk memperoleh kewarganegaraan Amerika, setiap pelamar harus lulus sesuatu seperti ujian lisan, yang menunjukkan pengetahuan mereka tentang ketentuan utama Konstitusi AS. Gödel mendekati studi tentang tindakan hukum normatif tertinggi Amerika Serikat dengan semua ketelitian yang melekat di dalamnya, tetapi setelah menganalisis apa yang dia baca, ilmuwan sampai pada kesimpulan yang tidak terduga: ternyata, di “negara paling demokratis di dunia” adalah sah secara mutlak untuk mendirikan kediktatoran melalui ... pemungutan suara nasional.



Penemuan bergema seperti itu hampir membuat Kurt Gödel kehilangan kewarganegaraan, tetapi Albert Einstein, seorang teman dekat dan salah satu penjamin ilmuwan, mampu membujuk ahli matematika itu untuk menunda diskusi politik setidaknya sampai saat pengambilan sumpah. Dia mengindahkan peringatan dan berhasil lulus ujian, dan kemudian tidak kembali ke topik ini. Menariknya, seperempat abad kemudian, ekonom Amerika dan pemenang Nobel Kenneth Joseph Arrow sampai pada kesimpulan yang sama, merumuskan teorema tentang ketidakmungkinan demokrasi sebagai pilihan kolektif, juga dikenal sebagai "teorema keniscayaan diktator."





Albert Einstein menghadiahkan Kurt Gödel dan Julian Schwinger dengan medali Hadiah Einstein, 1951



Mungkin hanya orang seperti Kurt Gödel, yang menempatkan logika dan rasionalisme bahkan di atas kepentingannya sendiri, yang dapat membuat penemuan yang membuat para ilmuwan secara radikal mempertimbangkan kembali pandangan mereka tentang struktur alam semesta. semesta, dalam semalam menjadi debu harapan banyak rekan matematikawannya untuk formalisasi total ilmu angka, dan ilmu pengetahuan secara keseluruhan. Dan sekarang setelah Anda memiliki gagasan yang lebih baik tentang apa cara berpikir Kurt Gödel dan apa arti logika baginya, Anda dapat melanjutkan ke cerita tentang gagasan intelektual utama ilmuwan - teorema ketidaklengkapan dan inkonsistensi, yang mengungkapkan esensi dari keterbatasan mendasar dari setiap sistem formal yang ada.

Formalisasi alam semesta

Meskipun usianya cukup besar, "Awal" ilmuwan Yunani kuno Euclid, yang ditulis sekitar 300 SM, dan hingga hari ini adalah model presentasi logis teori matematika, dan teori ilmiah apa pun secara umum. Banyak pemikir terbesar umat manusia, termasuk Rene Descartes, Isaac Newton dan Benedict Spinoza, mengambil struktur "Elemen" sebagai dasar untuk karya mereka, dan hari ini pendekatan deduktif untuk penyajian pengetahuan digunakan dalam kompilasi hampir setiap sekolah atau universitas buku teks.





Euclid matematikawan Yunani kuno, "bapak" geometri klasik



Meskipun demikian, karya monumental Euclid sama sekali tidak sempurna, seperti yang dicatat oleh orang-orang sezamannya. Dengan perkembangan lebih lanjut ilmu matematika, jumlah kekurangan yang terungkap dari "Elemen" hanya bertambah, yang, bagaimanapun, cukup alami: seiring waktu, pendekatan aksioma dan metodologi pembuktian teorema baik dalam geometri maupun aritmatika hanya meningkat , dan teks asli Euclid, omong-omong, untuk semuanya, itu bukannya tanpa banyak kekurangan, yang akarnya terletak pada tradisi kuno. Jadi, misalnya, matematikawan Yunani kuno dengan sikap keras kepala yang patut ditiru menghindari konsep ketidakterbatasan yang sebenarnya, karena itu semua pola geometris dalam "Elemen" dijelaskan dalam kaitannya dengan area terbatas dari pesawat. Ini, di satu sisi, membuat formulasi mereka tidak perlu rumit dan, pada saat yang sama, secara signifikan membatasi ruang lingkup untuk penalaran lebih lanjut, seperti, misalnya, dalam kasus aksioma garis paralel.



Pada akhir abad ke-19, semua masalah dan kontradiksi "Elemen" Euclidean diselesaikan oleh David Hilbert, yang pada tahun 1899 mempresentasikan karya monumental "Foundations of Geometry". Keberhasilan matematikawan Jerman mengilhami banyak orang sezamannya, mendorong dengan sepenuh hati untuk bekerja menuju formalisasi total ilmu matematika.



Gagasan tentang ini telah mengudara selama beberapa dekade terakhir. Kembali pada tahun 1889, matematikawan Italia Giuseppe Peano menggunakan pendekatan Euclid, tetapi tidak lagi dalam kaitannya dengan geometri, tetapi untuk aritmatika, merumuskan 5 aksioma dasar bilangan asli:

1. Dalam himpunan bilangan asli N, terdapat bilangan asli 1 yang disebut satuan.
2. Setiap bilangan asli n segera diikuti oleh bilangan asli yang ditentukan secara unik n ', yang disebut berikutnya setelah n.
3. Satuannya, yaitu bilangan asli 1, tidak secara langsung mengikuti bilangan asli mana pun.
4. Setiap bilangan asli segera mengikuti paling banyak satu bilangan asli.
5. Setiap subset M dari himpunan N yang berisi satu, dan bersama-sama dengan setiap nomor dari M yang berisi nomor berikutnya setelahnya, bertepatan dengan himpunan N.

,



Aksioma Peano ternyata sesederhana mereka lengkap, karena melalui kesimpulan logis yang konsisten mereka memungkinkan seseorang untuk menurunkan dan membuktikan semua teorema aritmatika dasar. Karya Peano membuat para ilmuwan berpikir tentang mengembangkan pendekatan terpadu untuk aksiomatisasi cabang ilmu matematika lainnya. Namun, ahli logika, matematikawan, dan filsuf Jerman Gottlob Frege memutuskan untuk melangkah lebih jauh, mengusulkan tidak hanya untuk secara aksiomatis menegaskan sifat dasar objek matematika, tetapi juga untuk memformalkan metode penalaran itu sendiri. Frege menguraikan hasil karyanya ke arah ini dalam dua volume Hukum Dasar Aritmatika, buku pertama yang diterbitkan pada tahun 1893, sedangkan yang kedua diterbitkan hanya 10 tahun kemudian. Tetapi bahkan terlepas dari pekerjaan luar biasa yang dilakukan oleh Frege, pekerjaan terakhirnya memiliki kekurangan yang sangat signifikan.





Ahli logika, matematika, dan filsuf Jerman Gottlob Frege



Tidak lama sebelum penerbitan volume kedua "Hukum Dasar Aritmatika", ilmuwan menerima surat dari kolega Inggrisnya, Bertrand Russell, di mana ia menunjukkan satu keadaan yang dialami oleh ahli matematika itu. diabaikan. Sistem formal yang diajukan Frege mengandung paradoks di bagian teori himpunan naif Georg Cantor. Dalam bahasa informal, esensinya dapat diungkapkan sebagai berikut.



Mari kita sepakat untuk menyebut himpunan yang bukan elemennya sendiri "biasa". Ini, misalnya, dapat dikaitkan dengan audiens Habr: set ini adalah kumpulan semua pembaca portal, tetapi itu bukan pembaca itu sendiri. Pluralitas yang "tidak biasa" akan menjadi pluralitas yang menjadi elemennya sendiri. Ini termasuk himpunan semua himpunan, karena karena secara umum mencakup semua himpunan yang ada, maka itu sendiri harus menjadi elemen dari dirinya sendiri.



Sekarang mari kita bayangkan sebuah himpunan yang terdiri dari semua himpunan biasa (ini akan disebut himpunan Russell) dan mencoba mencari tahu apakah himpunan itu mengacu pada biasa atau tidak biasa. Itu tidak bisa biasa, karena menurut definisi itu terdiri dari semua set biasa, yang berarti dalam hal ini harus mencakup dirinya sendiri. Ternyata di hadapan kita ada banyak orang yang tidak biasa. Namun, dalam hal ini, ia tidak dapat memasukkan dirinya sendiri sebagai elemen, karena menurut definisi ia hanya terdiri dari himpunan biasa. Tetapi jika orang banyak itu bukan elemennya sendiri, itu menjadi biasa. Kami mendapatkan kontradiksi.





Ahli logika dan matematika Inggris Bertrand Russell



Pada hari-hari tersisa sebelum penerbitan buku, Gottlob Frege mencoba dengan sekuat tenaga untuk memecahkan paradoks Russell dengan menyelesaikan sistem formalnya, tetapi semua usahanya tidak berhasil. Akibatnya, matematikawan tidak punya pilihan selain menambahkan kata penutup ke volume kedua, di mana dia, pada kenyataannya, mengakui kekalahan intelektualnya yang lengkap:



“Apa yang bisa lebih mengerikan bagi seorang ilmuwan daripada menemukan bahwa dasar bertahun-tahun, pekerjaan yang hampir tidak selesai, dalam semalam runtuh? Surat yang saya terima dari Bertrand Russell menempatkan saya dalam posisi yang sangat tidak menyenangkan ... " 



Selanjutnya, ahli matematika menghabiskan banyak waktu dan upaya untuk mencoba memecahkan paradoks dalam kerangka teorinya sendiri, tetapi semuanya sia-sia. Bagi Frege, ini ternyata menjadi pukulan yang sangat kuat sehingga sampai akhir hayatnya dia tidak pernah menulis satu buku pun.



Paradoks itu diselesaikan oleh Russell sendiri dengan bantuan teori tipe... Segera ilmuwan itu mempresentasikan versinya sendiri tentang sistem formal, yang mencakup semua cabang matematika dan bebas dari kontradiksi yang dikenal pada saat itu. Karyanya diwujudkan dalam tiga volume Principia Mathematica, ditulis bersama Alfred North Whitehead, diterbitkan antara tahun 1910 dan 1913. Selanjutnya, David Hilbert menggambarkan pekerjaan ini sebagai "mahkota dari semua upaya banyak untuk aksiomatisasi matematika."



Namun, hasil penelitian Russell tidak cukup bagi Gilbert sendiri. Pada tahun 1922, rencana yang jauh lebih ambisius untuk membuktikan ilmu matematika dan formalisasi komprehensifnya telah matang di kepalanya. Ide-ide Hilbert terbentuk dalam apa yang disebut "program Göttingen", yang merupakan daftar postulat dasar dan penelitian yang diperlukan untuk membuktikannya. Secara singkat, esensinya dapat diringkas sebagai berikut.



Matematika adalah seperangkat konsekuensi yang diturunkan dari sistem aksioma primer dan adalah:

1. Lengkap - pernyataan matematika apa pun dapat dibuktikan atau disangkal dengan jelas menggunakan aturan matematika itu sendiri;
2. Konsisten - tidak ada pernyataan matematika yang dapat dibuktikan dan disangkal secara bersamaan tanpa melanggar aturan matematika;
3. Dapat ditentukan - untuk pernyataan matematis apa pun, dimungkinkan untuk menetapkan dengan jelas apakah itu dapat disangkal atau dibuktikan.

Hilbert sendiri sangat yakin dengan validitas postulat yang tercantum: menurut ilmuwan, matematika itu apriori lengkap, konsisten dan dapat dipecahkan, hanya perlu dibuktikan.





Matematikawan Jerman David Hilbert



Tapi ambisi ilmuwan itu jauh melampaui ilmu angka belaka. Dalam artikelnya "Cognition of Nature and Logic", Hilbert menulis sebagai berikut:



"Gagasan utamanya adalah merumuskan beberapa pernyataan, yang disebut aksioma, dalam bidang sains yang luas, untuk kemudian membangun seluruh bangunan teori di atas fondasinya di cara yang murni logis."



Matematikawan itu sangat percaya bahwa semua disiplin ilmu yang mungkin, termasuk ilmu alam, tunduk pada aksiomatisasi dan formalisasi. Dan pengembangan metodologi kognisi algoritmik terpadu berpotensi memberikan dorongan yang belum pernah terjadi sebelumnya untuk pengembangan sains. Bayangkan saja ketinggian apa yang bisa ditaklukkan umat manusia, jika "kunci master universal dari alam semesta" muncul di gudang para ilmuwan, semacam metodologi yang lebih tinggi yang memungkinkan penghitungan penemuan ilmiah! Di zaman kita, ini dapat mengarah pada penciptaan sesuatu seperti "Pemikir Hebat" dari "Panduan Hitchhiker ke Galaksi" , apalagi, yang tidak hanya mampu menjawab pertanyaan yang diajukan, tetapi juga menghitung hukum Semesta yang belum diketahui. di muka. Di dunia ini, tidak akan ada penghalang untuk alasan, dan umat manusia akan memperoleh kemahakuasaan sejati.

Frustrasi

Namun, rencana ambisius Hilbert untuk meresmikan alam semesta tidak pernah ditakdirkan untuk menjadi kenyataan. Pada tanggal 7 September 1930, pada kongres matematika reguler yang diselenggarakan oleh Lingkaran Wina di Konigsberg (sekarang Kaliningrad), Kurt Gödel yang berusia 24 tahun membuat laporan "Tentang kelengkapan kalkulus logis", di mana ia mengumumkan dua teorema dasar yang menyangkal ide-ide Hilbert.



Dalam bentuk utamanya, teorema Gödel berurusan dengan keterbatasan mendasar dari aritmatika formal. Namun, karena hampir setiap sistem formal menggunakan konsep aritmatika dasar sampai tingkat tertentu, teorema Gödel ternyata berlaku untuk banyak cabang ilmu pengetahuan lainnya. Untuk alasan ini, dua pernyataan dari masing-masing teorema diberikan di bawah ini.

Teorema pertama Gödel (teorema ketidaklengkapan)

Untuk aritmatika: jika aritmatika formal konsisten, maka ada rumus yang tidak dapat direduksi dan tidak dapat disangkal di dalamnya.



Generalized: setiap teori aksiomatik yang konsisten mengandung pernyataan-pernyataan yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal oleh teori itu sendiri.

Teorema kedua Gödel (teorema kontradiksi)

Untuk aritmatika: jika aritmatika formal konsisten, maka beberapa formula tidak dapat dikurangkan di dalamnya yang secara substantif menegaskan konsistensi aritmatika.



Generalized: konsistensi teori aksiomatik tidak dapat dibuktikan dengan teori ini sendiri.



Pertunjukan ini tidak direncanakan sebelumnya dan menghasilkan efek bom yang meledak di kalangan ilmiah, membuat Gödel menjadi selebritas dunia dalam semalam. Ini tidak mengherankan, karena pada kenyataannya ahli matematika membuktikan bahwa semua penelitian dalam kerangka "program Göttingen" sia-sia, dan pekerjaan lebih lanjut tentangnya tidak ada artinya, karena tiga postulat utama yang mendasarinya ternyata pada awalnya salah.



Setahun kemudian, sebuah artikel berjudul "On Fundamentally Unsolvable Provisions in Principia Mathematica and Related Systems", yang berisi bukti dari kedua teorema, diterbitkan dalam jurnal ilmiah Austria "Monatshefte für Mathematik und Physik" ("Bulanan Matematika dan Fisika"). Dan meskipun bukti teorema kedua diberikan hanya dalam bentuk ide umum, itu sangat logis dan jelas sehingga tidak ada yang meragukan keandalannya.



Untuk kredit David Hilbert, harus dikatakan bahwa ilmuwan adalah orang pertama yang mengakui nilai karya ilmiah Gödel, setuju bahwa seluruh program formalisasi dasar matematika memerlukan revisi radikal. Selain itu, dalam volume kedua "Foundations of Mathematics", yang diterbitkan pada tahun 1938, bukti lengkap dari kedua teorema pertama kali disajikan. Dalam kata pengantar buku tersebut, penulisnya mencatat bahwa untuk mencapai tujuan mereka, metode terbatas saja, sayangnya, tidak cukup, menambahkan induksi transfinite ke jumlah sarana logis yang diperlukan .



Meskipun 90 tahun telah berlalu sejak munculnya teorema Gödel, para ilmuwan belum sampai pada pendapat yang jelas dalam menilai pengaruhnya baik pada matematika itu sendiri maupun pada pengembangan lebih lanjut dari ilmu-ilmu dasar. Banyak orang sampai hari ini sependapat dengan Bertrand Russell, yang mengatakan bahwa menurut akun Hamburg, tidak ada yang berubah secara mendasar. Meskipun karya Gödel memiliki dampak yang luar biasa pada pembentukan logika matematika modern, namun, di luar disiplin ini, matematikawan terus menyimpulkan dan membuktikan teorema dengan cara yang sama seperti sebelumnya.



Menariknya, Gödel sendiri secara umum memiliki pendapat yang sama dengan Russell. Menangkis tuduhan perusakan berbahaya dari dasar-dasar ilmu matematika, dia menjawab bahwa teoremanya hanya mengarah pada penilaian ulang peran kepribadian dan intuisi manusia di bidang-bidang di mana hukum logika sebelumnya memerintah tanpa terbagi, sementara dasar-dasar yayasan itu dan tetap tak tergoyahkan



Adapun gagasan utopis tentang formalisasi dan algoritme yang jelas dari pengetahuan ilmiah, di mana karya-karya Gödel, pada kenyataannya, menempatkan salib yang berani, banyak ilmuwan menemukan konsep seperti itu pada prinsipnya tidak berarti. Tidak peduli seberapa menggoda mainframe mungkin terlihat, tanpa henti menghasilkan dan membuktikan lebih banyak teorema baru, julukan "spam matematika", yang ditemukan oleh ahli matematika Rusia dan Prancis Alexander Chenes, paling cocok untuk produk komputasi dari superkomputer semacam itu.





Alexander Shen, Rekan Peneliti Senior di LIRMM CNRS, Rekan Peneliti Rekanan di Sekolah Tinggi Ekonomi



Lagi pula, tidak hanya perumusan teorema tertentu dan pembuktiannya penting untuk matematika dan sains secara umum, tetapi, dan ini adalah hal utama, artinya, yang memungkinkan untuk membangun hubungan antara entitas yang berbeda dan memahami ke arah mana harus bergerak dan aplikasi praktis apa yang dapat ditemukan untuk pengetahuan yang diperoleh. Dengan tidak adanya pemahaman seperti itu, nilai teorema dan penemuan yang berbeda yang dihasilkan berdasarkan aturan formal cenderung nol.



Teorema Gödel membuat para ilmuwan berpikir tentang keterbatasan pengetahuan seseorang tentang kemampuan mentalnya sendiri. Bagaimanapun, karya-karyanya dapat dianggap sebagai konfirmasi tidak langsung bahwa pemikiran manusia sama sekali tidak dibatasi oleh kerangka komputasi formal, tetapi juga mencakup bidang "non-komputasi" yang sampai sekarang tidak diketahui, yang manifestasinya adalah intuisi dan wawasan yang tiba-tiba.



Salah satu pendukung paling konsisten dari sudut pandang ini adalah fisikawan dan matematikawan Inggris, peraih Nobel 2020 Roger Penrose. Anda mungkin tidak akrab dengan karyanya, tetapi Anda hampir pasti pernah mendengar (atau mungkin bermain dengan salah satu variasinya sebagai seorang anak) tentang mosaik Penrose - mosaik non-periodik, berulang yang hanya terdiri dari dua elemen berbentuk berlian.





Fisikawan dan matematikawan Inggris Roger Penrose berdiri di atas lantai yang diaspal dengan mosaik yang ditemukan olehnya



Pada tahun 1989, Roger Penrose menerbitkan karya sains populer yang sangat menghibur "The New Mind of the King", yang judulnya tidak lebih dari referensi ke kisah Hans Christian Andersen "The New Dress of the King", Yang menceritakan kisah seorang raja yang menjadi korban penipuan yang kejam, tetapi tidak mau mengakuinya dengan cara apa pun, agar tidak menjatuhkan martabatnya. Dalam buku ini, Penrose menyatakan pendapat bahwa kesadaran manusia tidak murni algoritmik, dan proses yang terjadi di dalamnya dapat dijelaskan secara menyeluruh hanya dengan keterlibatan postulat fisika kuantum (khususnya, fenomena seperti reduksi von Neumann). Selanjutnya, Penrose, bersama dengan ilmuwan saraf Stuart Hameroff, mengembangkan teori neurocomputing kuantum berdasarkan model kesadaran Orch-OR, di mana aktivitas otak dipandang bukan sebagai proses biokimia melainkan proses kuantum. Teori ini dirinci dalam buku berikutnya oleh Roger Penrose, Shadows of the Mind.



Konsekuensi penting dari penalaran Penrose adalah ketidakmungkinan mendasar pada tahap perkembangan teknologi komputasi ini untuk menciptakan apa yang disebut "kecerdasan buatan yang kuat" - AI dengan kesadaran dan kesadaran diri, kemampuan empati dan motivasinya sendiri, yaitu , seperti seseorang. Karena segala sesuatu yang mampu dilakukan oleh komputer dan algoritme modern hanyalah pemodelan yang lebih rinci dan efektif dari aktivitas formal-logis otak manusia, penampilan AI "hidup" yang lengkap, orang tidak boleh berharap bahkan dalam kasus ini. dari peningkatan berganda dalam daya komputasi: hasil seperti itu akan dicapai hanya setelah revisi radikal pandangan tentang struktur dan prinsip kerja kesadaran. Mungkin, di masa depan yang jauh, umat manusia akan dapat memecahkan masalah ini. Tapi akankah mereka ingat?siapa yang akan berhasil membuat terobosan ilmiah yang begitu megah, nama Kurt Gödel, orang yang berhasil membuat seseorang terlihat berbeda tidak hanya pada dunia di sekitarnya, tetapi juga pada dirinya sendiri?



PS



Seseorang dapat berbicara tanpa henti tentang Kurt Gödel, tentang karya-karyanya dan pandangan dunianya - baik satu artikel maupun satu buku tidak akan cukup untuk itu. Siapa pun yang ingin mengetahui cara berpikir dan warisan ilmuwan brilian, kami sarankan memulai dengan karya matematikawan dan penulis fiksi ilmiah Amerika Rudy Rucker "Infinity and Consciousness", yang aslinya ada di publik domain di situs resmi penulis . Di sini Anda tidak hanya akan menemukan penjelasan rinci dan bukti teorema ketidaklengkapan dan inkonsistensi, tetapi, yang paling penting, kesan pribadi penulis dalam berkomunikasi dengan Kurt Gödel, yang akan membantu Anda merasakan dan memahami lebih baik apa yang hidup dan dihirup oleh orang yang luar biasa ini.

---

Server cloud dari Macleod cepat dan aman.



Daftar menggunakan tautan di atas atau dengan mengklik spanduk dan dapatkan diskon 10% untuk bulan pertama menyewa server dengan konfigurasi apa pun!