👋🏼 🤽🏼 🚎 Kelas baru bilangan prima yang saya temukan secara tidak sengaja 🧜🏾 📍 ↖️

Halo semuanya! Ini adalah posting pertama saya di Habré, jadi saya akan memperkenalkan diri: nama saya Kostya, saya adalah pengembang C ++, sedikit musisi, insinyur ML pemula dan pecinta matematika. Seperti yang mungkin sudah Anda duga, postingan ini akan membahas tentang hobi matematika saya.

UPD: Kesimpulan telah ditambahkan. Beberapa saat kemudian, saya akan menambahkan contoh bilangan prima lain dan sistem bilangan lain yang akan digunakan untuk menghasilkan bilangan siklik, dan sebagai konsekuensinya, bilangan prima siklik.

Latar belakang: sekitar 14 tahun yang lalu, saya menemukan fenomena bilangan siklik, saya terpesona dengan pola yang terbentuk di dalamnya dan berjanji pada diri sendiri untuk menjelaskannya. Pada awalnya, saya melakukan upaya analisis yang naif, yang memberikan hasil yang sangat biasa-biasa saja, tetapi pada tahun 2016 saya dapat melihat sendiri bahwa pecahan rasional 1/7 dapat diwakili oleh perkembangan geometrik yang menyatu. Sejujurnya, pada saat itu saya bahkan tidak mengerti bahwa itu adalah perkembangan geometris, tetapi saya mengenalinya secara visual. Pada tahun 2018, saya memutuskan untuk menggunakan semua keterampilan dan ketekunan saya untuk menemukan sebanyak mungkin pola bilangan siklik. Saya menemukan banyak, tetapi sekarang saya ingin berbagi apa yang saya anggap paling penting, dan ironisnya, saya menemukan secara tidak sengaja: kelas baru bilangan prima.

Saya sedang meneliti reptil penuh bilangan prima, dan lebih tepatnya - sistem bilangan seperti itu untuk bilangan prima, di mana 1 / P, di mana P adalah bilangan prima, akan memberikan pecahan periodik, periode yang akan sama dengan nomor siklik.

Di sini Anda mungkin harus memberikan definisi bilangan siklik:

Bilangan siklik adalah bilangan bulat yang permutasi sikliknya adalah hasil kali dari bilangan tersebut dan bilangan berurutan.

— 142857, "" + . , . , , , . , " . ".

142857 * 2 = 285714

142857 * 3 = 428571

142857 * 4 = 571428

142857 * 5 = 714285

142857 * 6 = 857142

, 142857 2 6, 142857. .

, 1/7 . 1/7, . .

1/7 . ! , , - , .

, , , 7 . - .

, full reptend prime, «The Philisophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View on the Theory and Practice of Calculation».

200 , . « », 1/7 .

«History of the Theory of Numbers» , full reptend prime.

«The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers» repunit.

«The Book of Numbers» , .

, , , , . .

, 142857, 1428571, . . , 1428571 1, — 7.

, 142857, ( 10 ). , .

7 , 142857: 1428571, 71428571, 7142857142857, 571428571428571, 1428571428571428571428571, 28571428571428571428571428571, 7142857142857142857142857142857.

: 7, 8, 13, 15, 25, 29, 31.


2	34
4	41
7	104
5	273
5	304
1	355
7	440
7	571
1	823
7	2215
5	2523
4	4379
2	4510
4	7553
4	7679
7	9536

23 , 10¹⁰⁰⁰.

. Full reptend prime

, , , , .

full reptend prime long prime. . , , full reptend .

full reptend

P — , , 1/P, N , P-1, , P N full reptend.

P full reptend N, P-1 .

P, , . P, - , P - full reptend prime.

P = 7 . 1/P = 0,(142857). 6, P-1. 1/P .. P-1/P:

2/P = 0,(285714)

3/P = 0,(428571)

4/P = 0,(571428)

5/P = 0,(714285)

6/P = 0,(857142)

, . . , . , . - 1/P. full reptend.

P 1/P. P. P = 2 2, P = 3 3, ..

( ⁿ) mod P = 1

P :

, , full reptend, 7, 17, 19, 23, 29. 2 5 , .

P = 3 : 1/3 = 0,(3). P = 11 , 2 : 1/11 = 0,(09).

P = 13 , 6, P-1. (P-1)/2, , . P 2nd reptend level prime. 2nd reptend level prime:

1/13 = 0,(076923)

2/13 = 0,(153846)

P = 13, P-1/P, , 1/13 2/13, .

3/13 = 0,(230769) — 1

4/13 = 0,(307692) — 1

5/13 = 0,(384615) — 2

6/13 = 0,(461538) — 2

7/13 = 0,(538461) — 2

8/13 = 0,(615384) — 2

9/13 = 0,(692307) — 1

10/13 = 0,(769230) — 1

11/13 = 0,(846153) — 2

12/13 = 0,(923076) — 1

2nd reptend level prime : .

.. : 769230769, 769230769230769230769,769230769230769230769230769230769.

: 1538461.

, , full reptend prime, . P = 7 2 , full reptend, 3 5 — .

7 . 12, . , 17 19, 59 61.

, full reptend n-th repntend level . P N .

1/P:

$\ mulai {persamaan} \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {s * r ^ n} {basis ^ {panjang (n + 1)}} = \ frac {1} {P} \ akhir { persamaan}$

s — , 1/P:

$\ begin {persamaan} s = [\ frac {1} {P} * basis ^ {panjang}] \ end {persamaan}$

full reptend prime , 1 . :)

length , s, . length .

r , 1/P. 1/P P-1, full reptend , P-1.

, , , . P= 7, .. full reptend .

: [3, 2, 6, 4, 5, 1]. . base mod P. , :

$\ begin {persamaan} \ begin {kasus} r_0 = 1 \\ r_n = r_ {n-1} * (basis \ mod P) \\ \ end {kasus} \ end {persamaan}$

$\ begin {persamaan} r_ {panjang} = alas ^ {panjang} \ mod P \ end {persamaan}$

, : P— ; base — ; length — , .

$\ begin {persamaan} \ frac {1} {P} = \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {[\ frac {1} {P} * basis ^ {panjang}] * (basis ^ { panjang} \ mod P) ^ n} {basis ^ {panjang (n + 1)}} \ akhir {persamaan}$

P = 7 c s, :

$\ begin {persamaan} \ frac {1} {7} = \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 3 ^ n} {10 ^ {n + 1}} \ end {persamaan}$

s = 1, 0,(142857), .. length = 1. r = 3, , length = 1.

$\ begin {persamaan} \ frac {1} {7} = 0,1 + 0,03 + 0,009 + 0,0027 + 0,00081 + .. \ end {persamaan}$

3 10. :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14*2^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = 0.14 + 0.0028 + 0.000056 + 0.00000112 + .. \end{equation}$

2 100. s = 14, 0,(142857), .. length = 2. r = 2, , length = 2. , , , .

length 1:

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142*6^n}{10^{3(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428*4^n}{10^{4(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14285*5^n}{10^{5(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142857*1^n}{10^{6(n+1)}} \end{equation}$

, s :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428571*3^n}{10^{7(n+1)}} \end{equation}$

s - , . . .

, , , s P N — .

P = 17:

$\begin{equation} \frac{1}{17} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{5*15^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\ begin {persamaan} \ frac {1} {17} = \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {58 * 14 ^ n} {10 ^ {3 (n + 1)}} \ end { persamaan}$ $\ begin {persamaan} \ frac {1} {17} = \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {588 * 4 ^ n} {10 ^ {4 (n + 1)}} \ end { persamaan}$

89 . 1/89 = 0,0112359.. — , . , :

$\ begin {persamaan} \ frac {1} {89} = \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 11 ^ n} {10 ^ {2 (n + 1)}} \ end { persamaan}$ $\ begin {persamaan} \ frac {1} {89} = \ sum \ batas_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {Fibonacci (n)} {10 ^ {n + 1}} \ end {persamaan}$

, — 109.

1/89 : (-1)ⁿ⁺¹. , , .

$\ begin {persamaan} \ frac {1} {109} = \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {9 * 17 ^ n} {10 ^ {3 (n + 1)}} \ end { persamaan}$ $\ begin {persamaan} \ frac {1} {109} = \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {Fibonacci (n) * (- 1) ^ {n + 1}} {10 ^ {n +1}} \ end {persamaan}$

, , .

-

s , , .

, P = 7, 142857, 1428571. , , 1/P, 1/P .. P-1/P. , , 71428571.

, . , . , , , , , .

, s, , , , . - .

P = 7. 1/P, P-1/P, , s : 2, 5, 7, 71, 571, 2857, 28571.

, - .

- P N. , full reptend prime .

,

, . P N, . , P, , .

- :

, P, , . , 142857. 40 5SMYBH ( 5, 28, 22, 34, 11, 17).

, , H5SMYBH 40 , , : 70217142857.

, . , , , .

P=7 N=10:

1) 1428571

2) 71428571

3) 7142857142857

4) 571428571428571

5) 1428571428571428571428571

6) 28571428571428571428571428571

7) 7142857142857142857142857142857

8) 2857142857142857142857142857142857

9) 42857142857142857142857142857142857142857

40 :

1) MCYB

2) Ra2YB

3) 13NYIMYBH

4) 277Sb5SMYB

5) 1D8TJS2CYBH5SMYB

6) GP98QAT0SMYBH5SMYB

7) 2NbRO471EIMYBH5SMYBH

8) PdGa11UDOPSMYBH5SMYBH

9) 3WAEQ3OR61AQVH5SMYBH5SMYBH

P=7 N=10 :

1) H5SMYBH

2) - 77 , 5SMYBH, B:

5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYB

1) 70217142857

– 12 , 123 .

2) 3262280440470765442418939358741703168874849426...

...28571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571

- , .

,

P = 7 N = 10. :

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N*4

i — . i = 0 , full reptend prime. .

, , .

N = 3, 10, 17, 31, 38, 59:

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N

N = 5, 19, 26, 33, 47, 61:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 12:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 40 , N = 10.

N = 24, N = 12.

, , N.

, 40 , . , , - , 40, , 40 .

12 24 . , , , 12.

, , , full reptend.

, , , 40 10 .

P = 5, . P = 17 , , base, base*2, base*4, .

, , .

, , . . .

, , . . : , , , , .

#1: 40 . 1/7₄₀=0.(5SMYBH)₄₀, H5SMYBH₄₀, 70217142857. 7142857, 40 .

#2: 10 . 571428571428571. 40 1D8TJS2CYBH5SMYB₄₀. , YBH5SMYB , .

,

, . . , .

, . , .

, full reptend prime .

. , , github. .

, full reptend prime. .

, , , .

, 2019 , \ .

, , arxiv.org – . , . – :

, arxiv ? ? 6- , .

Terima kasih atas perhatiannya! Saya harap artikel pertama saya tidak melelahkan, masih ada beberapa lagi yang akan datang dan tidak semuanya tentang matematika.

Kelas baru bilangan prima yang saya temukan secara tidak sengaja

. Full reptend prime

full reptend

-

,

,

,

More articles: