Masalah rantai gantung gratis

Suatu ketika, ketika saya masih menjadi mahasiswa, duduk di kuliah yang membosankan, saya berpikir tentang seberapa sering tali atau rantai yang tergantung bebas dengan panjang tertentu dapat berosilasi dalam satu bidang dan bagaimana bentuknya jika osilasinya kecil. Saya ingat bahwa saya telah memecahkan masalah ini, tetapi sekarang, setelah bertahun-tahun, saya telah melupakan detail bagaimana saya melakukannya. Namun, menjadi menarik bagi saya untuk memulihkan solusi ini sedetail mungkin dan membagikannya dengan semua orang yang tertarik. Apa yang terjadi dengan ini, baca di bawah potongan.



Misalkan kita memiliki rantai dengan panjang l dan massa M, digantung di salah satu ujungnya, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Di sini kita akan mengasumsikan bahwa rantai homogen dan gaya gesek dapat diabaikan. Mari kita membangun sistem koordinat sedemikian rupa sehingga asal koordinat bertepatan dengan titik suspensi, sumbu X diarahkan ke bawah, dan sumbu Y, tegak lurus terhadap sumbu X, akan bertanggung jawab atas deviasi rantai dari vertikal. Sebenarnya, perlu untuk mendefinisikan fungsi Y (x, t).







Untuk mencari Y (x, t), mari tulis gaya yang bekerja pada bagian kecil rantai seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.







Dapat dilihat dari gambar bahwa gaya tarik T bersinggungan dengan rantai. Oleh karena itu, garis singgung sudut T terhadap sumbu X akan sama dengan turunan dY (X) / dX. Diketahui bahwa jika fluktuasi kecil, maka garis singgung kira-kira sama dengan sudut itu sendiri dalam radian. Gaya tarik T dapat dihitung menggunakan rumus di







mana l adalah panjang rantai, g adalah percepatan gravitasi, dan







massa per satuan panjang rantai.



Mari kita tulis persamaan yang berasal dari hukum kedua Newton







Di sisi kanan persamaan, gantikan nilai tegangan T sementara tanpa koefisien yang sesuai







Ganti nilai turunan pada titik x + dx melalui turunan keduanya







Perluas tanda kurung







dan membatalkan suku-suku terkait, menghapus juga suku urutan kecil kedua.







Gantikan rumus yang dihasilkan ke dalam persamaan gerak,







kurangi dengan dx dan berat jenis.







Perhatikan bahwa persamaan ini tidak bergantung pada berat jenis, oleh karena itu, semua tali dan rantai dengan panjang yang sama akan bergetar dengan cara yang sama, berapa pun massanya. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita akan mencari solusi dalam bentuk







Mensubstitusikannya ke dalam persamaan gerak, kita dapatkan







Membaginya dengan g dan fungsinya sendiri, kita dapatkan bahwa satu bagian hanya bergantung pada waktu, dan yang lainnya hanya bergantung pada X. Oleh karena itu, mereka dapat disamakan dengan beberapa konstanta.







Mari kita pertimbangkan dulu bagian yang hanya bergantung pada X







Untuk menyelesaikan persamaan ini kita membuat perubahan variabel







Kemudian turunan pertama mengasumsikan bentuk berikut







dan turunan keduanya







dan persamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk yang







mudah untuk melihat bahwa persamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk







Karena tidak jelas jenis persamaan apa, coba bawa ke persamaan diferensial yang diketahui.

Untuk melakukan ini, kita membuat perubahan







Dalam hal ini, turunan pertama akan mengambil bentuk berikut







dan persamaannya sendiri seperti ini







Pindahkan n kuadrat dari bawah turunan







dan hapuskan







Lakukan diferensiasi dan dapatkan persamaan berikut







Kami memilih n sedemikian rupa sehingga tidak ada variabel bebas pada turunan tertinggi.Kita dapatkan







persamaan berikut







Kalikan dengan 4 dan z kuadrat dan kita dapatkan







Ini sudah mirip dengan persamaan Bessel yang terkenal, itu hanya perlu untuk mendapatkan menghilangkan faktor dari fungsi itu sendiri. Untuk melakukan ini, kami membuat transformasi lain dari variabel







Dalam hal ini, turunan pertama akan menjadi sama







dan turunan kedua







Mengganti ke dalam persamaan, kita dapatkan







Jika kita ambil







maka kita mendapatkan persamaan Bessel orde-nol







Solusi dari persamaan seperti itu memiliki bentuk







di mana A dan B adalah konstanta, dan J dan Y adalah fungsi Bessel orde-nol. Mengganti variabel z kembali, kita dapatkan







Setelah mengganti variabel u, kita memiliki solusi berikut







dan, akhirnya, kembali ke variabel x, kita







menggunakan fakta bahwa fungsi kita harus berhingga pada titik x = l. Karena fungsi Y (x) tidak terbatas pada nol, B harus sama dengan nol dan solusi kita akan berbentuk berikut.Sekarang







kita akan menggunakan kondisi bahwa pada titik suspensi nilai fungsi kita harus sama dengan nol, yaitu y (0 ) = 0.

Dari sini, di







mana j adalah nol dari fungsi Bessel orde-nol. Dari sini, Anda dapat menentukan nilai







lambda. Mengganti labda, kita dapatkan







Apa setelah reduksi memberikan fungsinya sendiri.







Mari kita beri grafik untuk lima yang pertama.















Sekarang mari kita kembali ke bagian persamaan awal, yang bertanggung jawab atas ketergantungan pada waktu. Mengetahui nilai lambda, Anda dapat menghitung frekuensi natural







Dengan mengekstraksi akar, kita mendapatkan







periode yang sesuai akan sama







Bandingkan ekspresi ini dengan periode osilasi pendulum matematika.



Ini menyimpulkan studi kami tentang osilasi rantai yang menggantung bebas. Terima kasih atas perhatian Anda.