🐬 🥣 🚑 Tes Wilcoxon: titik manis bagi praktisi 🏩 🤚🏻 🎴

Dalam praktek pengolahan hasil observasi tidak diketahui sebaran populasi umum atau (untuk variabel acak kontinyu) berbeda dengan sebaran normal, sehingga penggunaan metode statistik klasik tidak wajar dan dapat menimbulkan kesalahan. Dalam hal ini, metode yang digunakan tidak bergantung (atau bebas) dari distribusi populasi umum - metode nonparametrik.

Artikel ini membahas dari sudut pandang terpadu tiga tes sampel tunggal yang sering ditemui dalam praktik: uji tanda, uji-t, dan uji Signed-Rank Wilcoxon, prosedur nonparametrik yang kekuatannya sebanding dengan kekuatan Uji-t untuk sampel yang berdistribusi normal, dan melebihi kekuatan uji-t jika distribusi sampel memiliki "ekor lebih berat" dibandingkan dengan distribusi normal.

1. Tentukan model untuk model lokasi sebagai berikut. Mari $X_1, X_2, \ ldots, X_n$ - menunjukkan sampel acak yang diperoleh menurut hukum berikut

$X_i = \ theta + e_i,$

di mana diasumsikan bahwa kesalahan acak $e_1, e_2, \ ldots, e_n$ adalah variabel acak independen dan terdistribusi merata dengan kerapatan distribusi kontinu f (t) simetris sekitar nol.

2 . Di bawah kondisi simetri, semua parameter posisi X_i , termasuk mean dan median, sama dengan $\ theta$ . Pertimbangkan hipotesisnya

$H_0: \ theta = 0, ~~~ H_a: \ theta> 0.$

3. Untuk menguji hipotesis ini, pertimbangkan tiga tes yang sering digunakan dalam praktik: uji tanda, uji t, dan uji Wilcoxon.

3.1. Tes rambu klasik (sign test) didasarkan pada statistik

$S = \ jumlah_ {i = 1} ^ ntanda (X_i),$

dimana tanda (t) = - 1,0,1 untuk t <0, t = 0, t> 0 masing-masing. Biarlah

$S ^ + = \ #_ i \ {X_i> 0 \}.$

S = 2S ^ + - n . , X_i ( , , ). H_0 , S ^ + 1/2 . s ^ + – S ^ + p-value $P_ {H_0} (S ^ + \ geq s ^ +) = 1-F_B (s ^ + - 1; n; 0,5)$ , F_B (t; n; p) – (R pbinom

cdf ).

, H_0 () f (t) .

3.2. t- (t-test) .

$T = \ jumlah_ {i = 1} ^ ntanda (X_i) \ cdot | X_i |.$

, f (t) . t- t-

$t = \ frac {\ bar {X}} {s / \ sqrt {n}},$

$\ bar {X}$ , . , t- n-1 . t_0 . p-value t- $P_ {H_0} (t \ geq t_0) = 1-F_T (t_0; n-1)$ , $F_T (t; \ nu)$ – t- c $\ nu$ (R pt

cdf t-). p-value , .

3.3. t- , t- .

(signed-rank Wilcoxon test) , . R | X_i | X_i $| X_1 |, \ ldots, | X_n |$ , .

$W = \ jumlah_ {i = 1} ^ ntanda (X_i) \ cdot R | X_i |.$

t-, , H_0 f (t) .

. , , W ^ + ,

$W ^ + = \ sum_ {X_i> 0} R | X_i | = \ frac {1} {2} W + \ frac {n (n + 1)} {4}.$

p-value $P_ {H_0} (W ^ + \ geq w ^ +) = 1-F_ {W ^ +} (w ^ + - 1; n)$ , $F_ {W ^ +} (x; n)$ – (R psignrank

cdf W ^ + ).

4. . : , t- $\ theta$ . .

4.1. $\ theta$ ,

$\ hat {\ theta} = med \ {X_1, X_2, \ ldots, X_n \}.$

$0 <\ alpha <1$ $\ theta$ $(1- \ alpha) 100 \%$ $\ kiri (X _ {(c_1 + 1)}, X _ {(n-c_1)} \ kanan)$ , $X _ {(i)}$ – saya - , c_1 – $\ alpha / 2$ p = 1/2 . e_i . , - $\ alpha$ .

4.2. $\ theta$ , t- $\ bar {X}$ . $\ bar {X} \ pm t _ {\ alpha / 2, n-1} \ cdot [s / \ sqrt {n}]$ , $t _ {\ alpha / 2, n-1}$ – $\ alpha / 2$ t- n-1 . e_i .

4.3. $\ theta$ , - (Hodges-Lehmann)

$\ hat {\ theta} _W = med_ {i \ leq j} \ kiri \ {\ frac {X_i + X_j} {2} \ kanan \}.$

$A_ {ij} = (X_i + X_j) / 2$ , $i \ leq j$ (Walsh averages) . $A _ {(1)} <\ cdots <A _ {(n (n + 1) / 2)}$ . $(1- \ alpha) 100 \%$ $\ theta$ $\ kiri (A _ {(c_2 + 1)}, A _ {(n (n + 1) / 2-c2)} \ kanan)$ , c_2 – $\ alpha / 2$ signed-rank Wilcoxon . e_i . , W ^ + – $\ kiri \ {0,1, ..., n (n + 1) / 2 \ kanan \}$ n ^ 2 . , , , $\ alpha$ .

5. ( ) A B . , ?

, A B. $\ theta$ . R t- $H_0: \ theta = 0, H_a: \ theta> 0.$

> Store_A <- c(82, 69, 73, 43, 58, 56, 76, 65)
> Store_B <- c(63, 42, 74, 37, 51, 43, 80, 62)
> response <- Store_A - Store_B

> wilcox.test(response, alternative = "greater", conf.int = TRUE)

	Wilcoxon signed rank exact test

data:  response
V = 32, p-value = 0.02734
alternative hypothesis: true location is greater than 0
95 percent confidence interval:
   1 Inf
sample estimates:
(pseudo)median 
          7.75 

> t.test(response, alternative = "greater", conf.int = TRUE)

	One Sample t-test

data:  response
t = 2.3791, df = 7, p-value = 0.02447
alternative hypothesis: true mean is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.781971      Inf
sample estimates:
mean of x 
     8.75

wilcox.test()

W ^ + , p-value , - $\ theta$ $95 \%$ $\ theta$ . - t.test()

. , 0,05 , , A .

, . , t- t- « » .

Tes Wilcoxon: titik manis bagi praktisi

More articles: