Pertanyaan David Hilbert tentang polinomial derajat ketujuh, yang dianggap lama harus dipecahkan, membuka jaringan baru koneksi matematika bagi para peneliti.
Sukses dalam matematika jarang terjadi. Tanya saja Benson Farb .
“Masalah dengan matematika adalah 90 persen dari waktu Anda gagal, dan Anda harus menjadi orang yang bisa menerimanya,” kata Farb saat makan malam dengan teman-teman. Ketika salah satu tamu, juga seorang ahli matematika, terkejut bahwa Farb sukses sebanyak 10% dari waktu, Farb mengakui, "Tidak, tidak, saya sangat melebih-lebihkan tingkat kesuksesan saya."
Farb, ahli topologi di University of Chicago, dengan senang hati menghadapi kemunduran terakhirnya - meskipun, sejujurnya, itu bukan sepenuhnya karena dia. Pertanyaannya terkait dengan masalah, yang diselesaikan secara paradoks dan tidak terselesaikan, terbuka dan tertutup.
Masalahnya adalah masalah matematika ke - 13 dari 23 yang tidak terpecahkan pada awal abad ke-20. Kemudian ahli matematika Jerman David Hilbert membuat daftar ini , yang menurutnya menentukan masa depan matematika. Masalahnya terkait dengan penyelesaian persamaan polinomial derajat ketujuh. Polinomial adalah urutan suku-suku dari suatu persamaan, yang masing-masing terdiri dari koefisien numerik dan variabel yang dipangkatkan; suku-suku dihubungkan satu sama lain melalui penjumlahan dan pengurangan. Derajat ketujuh berarti eksponen terbesar dari semua variabel.
Matematikawan telah belajar dengan cekatan dan cepat memecahkan persamaan urutan kedua, ketiga dan, dalam beberapa kasus, urutan keempat. Rumus ini - termasuk rumus kuadrat yang dikenal untuk derajat kedua - termasuk operasi aljabar, yaitu aritmatika dan ekstraksi akar. Tetapi semakin besar eksponennya, semakin membingungkan persamaannya, dan itu menjadi semakin sulit untuk dipecahkan. Masalah ke-13 Hilbert adalah pertanyaan apakah solusi untuk persamaan orde ketujuh dapat diekspresikan dalam bentuk himpunan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan fungsi aljabar di paling banyak dua variabel.
Pada tahun 1900, David Gilbert menyusun daftar 23 masalah terbuka kritis.
Jawaban: mungkin tidak. Untuk Farb, bagaimanapun, ini bukan hanya soal menyelesaikan persamaan aljabar yang kompleks. Dia mengatakan bahwa Soal 13 adalah salah satu masalah paling mendasar dalam matematika, karena menimbulkan pertanyaan yang mendalam: Seberapa rumit polinomial itu, dan bagaimana cara mengukurnya? “Seluruh lapisan matematika modern telah ditemukan untuk lebih memahami akar dari polinomial,” kata Farb.
Masalah ini menariknya dan matematikawan Jesse Wolfson dari Universitas California di Irvine menyusuri lubang matematika kelinci, yang gerakannya masih mereka pelajari. Dia juga membawa Mark Kissin , seorang ahli teori bilangan Harvard dan seorang teman lama Farb , untuk penggalian mereka .
Farb mengakui bahwa mereka belum memecahkan masalah Hilbert yang ke-13, atau bahkan hampir menyelesaikannya. Namun, mereka menemukan strategi matematika yang hampir punah, dan mengeksplorasi kaitan masalah dengan berbagai bidang pengetahuan, termasuk analisis kompleks, topologi, teori bilangan, teori representasi, dan geometri aljabar. Mereka menerapkan pendekatan mereka sendiri, khususnya, menggabungkan polinomial dengan geometri dan mempersempit kisaran jawaban yang mungkin untuk pertanyaan Hilbert. Juga, pekerjaan mereka mengusulkan cara untuk mengklasifikasikan polinomial berdasarkan metrik kompleksitas - analog dari kelas kompleksitas yang terkait dengan masalah persamaan kelas P dan NP yang belum terpecahkan .
"Mereka sebenarnya mampu mengekstrak versi yang lebih menarik dari minat tersebut," dibandingkan dengan yang dipelajari sebelumnya, kata Daniel Litt, seorang ahli matematika di Universitas Georgia. "Mereka menunjukkan kepada komunitas matematika banyak pertanyaan yang alami dan menarik."
Dibuka, ditutup dan dibuka kembali
Banyak ahli matematika sudah mengira masalahnya sudah terpecahkan. Pada akhir 1950-an, ilmuwan Soviet brilian Vladimir Igorevich Arnold dan mentornya Andrei Nikolaevich Kolmogorov menerbitkan bukti mereka. Untuk sebagian besar ahli matematika, karya Arnold-Kolmogorov menutup pertanyaan ini. Bahkan di Wikipedia - bukan kebenaran tertinggi, tetapi perantara yang cukup masuk akal dalam pencarian pengetahuan - hingga saat ini masalah tersebut ditandai sebagai terselesaikan.
Vladimir Arnold dan mentornya Andrei Kolmogorov pada 1950-an membuktikan salah satu versi dari masalah ke-13 Hilbert - tetapi, mungkin, Hilbert tertarik pada versi lain dari masalah itu.
Namun, lima tahun lalu, Farb menemukan beberapa baris menarik dalam sebuah esai oleh Arnold, di mana ahli matematika terkenal itu merefleksikan pekerjaan dan kariernya. Farb terkejut mengetahui bahwa Arnold menggambarkan masalah 13 sebagai terbuka, dan selama empat puluh tahun telah mencoba untuk memecahkan masalah yang tampaknya telah dipecahkannya.
“Ada karya ilmiah yang tesis tentang solusi masalah diulang-ulang. Mereka jelas tidak memahami masalahnya sendiri, ”kata Farb. Pada saat itu, dia bekerja dengan Wolfson, kemudian menjadi postdoc, pada proyek topologi. Ketika dia membagikan informasi yang dia temukan dalam karya Arnold, Wolfson bergabung dengan proyek tersebut. Pada 2017, dalam sebuah seminar yang didedikasikan untuk ulang tahun Farb yang ke-50, Kissin mendengar ceramah Wolsfon dan terkejut saat menyadari bahwa ide mereka tentang polinomial terkait dengan masalah dalam karyanya tentang teori bilangan. Dia bergabung dengan tim mereka.
Alasan kebingungan dengan masalah ini segera menjadi jelas: Kolmogorov dan Arnold hanya menyelesaikan satu opsi. Solusi mereka menampilkan fungsi kontinu - yang tidak memiliki titik putus atau titik belok tajam. Fungsi-fungsi ini mencakup operasi yang sudah dikenal seperti sinus, kosinus, eksponensial, serta yang lebih eksotis.
Namun, tidak semua peneliti setuju bahwa Hilbert tertarik pada mereka. "Banyak ahli matematika percaya bahwa Hilbert mengacu pada fungsi aljabar, bukan fungsi kontinu," kata Zinovy Reichstein , ahli matematika di Universitas British Columbia. Farb dan Wolfson sedang mengerjakan masalah yang mereka yakini ingin dipelajari Hilbert.
Farb mengatakan masalah 13 adalah kaleidoskop. “Anda mengungkap hal ini, dan semakin banyak Anda mempelajarinya, semakin banyak arah dan ide yang terbuka,” katanya. "Ini membuka pintu ke seluruh rangkaian masalah, mengungkapkan seluruh jaringan matematika yang indah."
Akar masalahnya
Matematikawan telah bermain-main dengan polinomial sejak penemuan matematika itu sendiri. Lempeng batu berusia 3.000 tahun menunjukkan bagaimana ahli matematika Babilonia menggunakan rumus tersebut untuk menyelesaikan polinomial orde dua. Itu adalah pendahulu paku dari rumus kuadrat yang diajarkan hari ini dalam pelajaran matematika. Rumus menunjukkan cara mencari akar dari suatu polinomial - yaitu, nilai x di mana ekspresi ax 2+ bx + c, polinomial berderajat dua, menjadi nol. Seiring waktu, ahli matematika secara alami menjadi tertarik pada pertanyaan apakah ada rumus yang begitu jelas dan jelas untuk polinomial orde tinggi. “Sejarah ribuan tahun dari masalah ini adalah untuk sampai pada sesuatu yang sama kuat, sederhana, dan efektif,” kata Wolfson. Semakin tinggi derajat polinomialnya, semakin rumit jadinya. Dalam buku tahun 1545 Ars Magna [Seni Hebat], polymath Italia Gerolamo Cardanomenerbitkan rumus-rumus untuk menemukan akar polinomial derajat ketiga dan keempat.
Akar dari polinomial kubik sumbu 3 + bx 2 + cx + d = 0 dapat ditemukan menggunakan rumus berikut:
Rumus polinomial derajat keempat terlihat lebih buruk.
“Seiring dengan bertambahnya gelar, kompleksitas juga meningkat, dan gunung kompleksitas membayang,” kata Kurt McMullen dari Harvard. "Bagaimana kita bisa menaklukkan gunung ini?"
Matematikawan Italia Paolo Ruffini pada tahun 1799 berpendapat bahwa polinomial derajat ke-5 dan lebih besar tidak dapat diselesaikan menggunakan operasi aritmatika dan ekstraksi akar. Pada tahun 1824, matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel membuktikan hal ini. ... Dengan kata lain, tidak ada rumus untuk polinomial derajat kelima. Untungnya, gagasan lain telah muncul yang menyarankan cara untuk mempelajari polinomial dengan derajat yang lebih tinggi yang dapat disederhanakan melalui substitusi. Misalnya, pada tahun 1786, pengacara Swedia Erland Bring menunjukkan bahwa persamaan dalam bentuk ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0 dapat ditulis ulang sebagai px 5 + qx + 1 = 0, di mana p dan q - bilangan kompleks, yang nilainya ditentukan oleh a, b, c, d, e dan f. Fakta ini membuka pendekatan baru terhadap sifat tersembunyi polinomial.
Pada abad ke-19, William Rowan Hamiltonmelanjutkan pekerjaan Bring dan lainnya. Antara lain, ia menunjukkan bahwa untuk mencari akar polinomial derajat enam, Anda hanya memerlukan operasi aritmatika biasa, akar kuadrat dan kubik, dan rumus aljabar yang hanya bergantung pada dua variabel.
Pada tahun 1975, ahli aljabar Amerika Richard Brower dari Harvard memperkenalkan gagasan "derajat penyelesai", yang menjelaskan jumlah minimum istilah yang diperlukan untuk mendeskripsikan polinomial dengan derajat tertentu. Kurang dari setahun kemudian, Arnold dan ahli teori bilangan Jepang Goro Shimura, di makalah lain, memperkenalkan definisi yang hampir sama.
Dalam model Brouwer, upaya pertama untuk mensistematisasikan aturan untuk substitusi semacam itu, masalah ke-13 Hilbert adalah apakah mungkin polinomial derajat ketujuh memiliki derajat penyelesaian kurang dari 3. Kemudian, ia mengemukakan dugaan serupa tentang polinomial keenam dan derajat kedelapan.
Namun, semua pertanyaan ini didasarkan pada pertanyaan yang lebih umum: berapa jumlah parameter terkecil yang diperlukan untuk mencari akar dari polinomial? Berapa batas bawah yang bisa Anda tempuh?
Pemikiran visual
Pendekatan alami untuk pertanyaan ini adalah membayangkan seperti apa bentuk polinomial itu. Polinomial dapat ditulis sebagai fungsi - misalnya, f (x) = x 2 −3x + 1, - dan plotkan. Kemudian pencarian akar direduksi menjadi fakta bahwa fungsinya menjadi sama dengan nol di mana kurvanya memotong sumbu x.
Semakin tinggi derajat polinomialnya, semakin kompleks grafiknya. Fungsi orde ketiga dalam tiga variabel menghasilkan permukaan yang halus tetapi bengkok dalam tiga dimensi. Dengan mengetahui di mana mencarinya pada permukaan ini, ahli matematika dapat belajar banyak tentang struktur polinom yang mendasarinya.
Akibatnya, upaya untuk memahami polinomial melibatkan banyak teknik dari geometri aljabar dan topologi - cabang matematika yang berfokus pada apa yang terjadi pada bentuk ketika mereka berubah bentuk, menyusut, meregang, atau berubah tanpa diskontinuitas. “Henri Poincaré pada dasarnya menemukan topologi dan dengan jelas mengatakan dia melakukannya untuk memahami fungsi aljabar,” kata Farb. "Pada saat itu, orang mengalami kesulitan mempelajari hubungan fundamental ini."
Hilbert sendiri mengungkapkan hubungan yang sangat menarik dengan menerapkan geometri pada masalah ini. Pada saat dia membuat daftar soal pada tahun 1900, para ahli matematika sudah memiliki banyak trik untuk menurunkan derajat polinomial, tetapi mereka masih belum bisa melangkah lebih jauh. Namun, pada tahun 1927, Hilbert menggambarkan trik baru. Dia mulai dengan mengidentifikasi semua kemungkinan cara untuk menyederhanakan polinomial derajat sembilan, dan menemukan di antara mereka sebuah keluarga permukaan kubik khusus.
Hilbert sudah tahu bahwa pada setiap permukaan kubik yang halus - sosok rumit yang digambarkan oleh polinomial derajat ketiga - tepat ada 27 garis, tidak peduli seberapa bengkok tampilannya. Garis-garis lurus ini bergeser seiring dengan perubahan koefisien polinomial. Ia menyadari bahwa mengetahui posisi salah satunya, ia dapat menyederhanakan polinomial derajat sembilan dan menemukan akarnya. Rumusnya hanya membutuhkan empat parameter - dalam istilah modern, ini berarti bahwa tingkat resolvent tidak melebihi 4.
"Wawasan luar biasa Hilbert adalah bahwa keajaiban geometri ini, yang berasal dari dunia yang sama sekali berbeda, dapat digunakan untuk mengurangi derajat resolvent ke 4 ", kata Farb.
Bergerak menuju jaringan koneksi
Ketika Kissin membantu Farb dan Wolfson memahami masalah tersebut, mereka menyadari bahwa pandangan yang diterima secara umum bahwa masalah ke-13 Hilbert telah dipecahkan telah membunuh semua minat dalam pendekatan geometris untuk tingkat penentu. Pada Januari 2020, Wolfson menerbitkan makalah yang merevitalisasi pendekatan ini. Dia memperluas inversi geometris Hilbert dari polinomial derajat sembilan ke teori yang lebih umum.
Hilbert berkonsentrasi pada permukaan kubik untuk mencari solusi untuk polinomial derajat sembilan yang hanya mengandung satu variabel. Tapi bagaimana dengan polinomial tingkat yang lebih tinggi? Untuk memecahkan masalah ini dengan cara yang sama, pikir Wolfson, seseorang dapat mengganti permukaan kubik dengan semacam "permukaan hiper" dari orde tinggi yang dibentuk oleh polinomial orde tinggi dalam banyak variabel. Geometri permukaan semacam itu tidak dipahami dengan baik, tetapi selama beberapa dekade terakhir, ahli matematika telah membuktikan bahwa dalam beberapa kasus Anda selalu dapat menemukan garis lurus di atasnya.
, , , 27 . . , «» .
Ide Hilbert untuk menggunakan garis lurus pada permukaan kubik dapat dikembangkan menjadi garis lurus pada "permukaan hiper" dengan derajat yang lebih tinggi. Wolfson menggunakan metode ini untuk menemukan rumus baru yang lebih sederhana untuk polinomial dengan derajat tertentu. Ternyata bahkan jika Anda gagal membayangkan polinomial derajat ke-100, Anda dapat menemukan akarnya dengan "hanya" mencari bidang pada hipersurface kubik multidimensi (dalam hal ini, ia akan memiliki 47 dimensi).
Dengan menggunakan metode baru ini, Wolfson mengkonfirmasi nilai derajat penyelesai yang ditemukan oleh Hilbert untuk polinomial derajat sembilan. Dan untuk polinomial dari beberapa derajat lainnya - khususnya, derajat di atas 9 - metodenya mempersempit kisaran nilai yang mungkin dari derajat resolvent.
Jadi ini bukan serangan langsung ke masalah ke-13 Hilbert, tapi pendekatan ke polinomial secara umum. “Mereka menemukan beberapa pertanyaan terkait dan mampu membuat kemajuan, berharap ini akan menjelaskan pertanyaan asli,” kata McMullen. Dan pekerjaan mereka menunjukkan cara baru untuk bekerja dengan konstruksi matematika ini.
Teori umum dari derajat resolvent juga menunjukkan bahwa dugaan Hilbert mengenai persamaan urutan keenam, ketujuh, dan kedelapan setara dengan masalah lain yang diketahui di bidang matematika yang tampaknya tidak terkait. Derajat penyelesai, menurut Farb, menawarkan cara untuk mengatur masalah ini dalam hal kompleksitas aljabar, daripada mengelompokkannya ke dalam kelas kompleksitas.
Dan meskipun teori tersebut berasal dari masalah ke-13 Hilbert, para ahli matematika tidak yakin bahwa teori itu dapat memecahkan pertanyaan terbuka tentang polinomial derajat ketujuh. Ini menyentuh skala matematika raksasa yang belum dijelajahi dalam dimensi yang tak terbayangkan, tetapi pada nilai-nilai yang lebih kecil dari derajat itu menemui hambatan yang tidak dapat diatasi dan tidak dapat menentukan derajat penyelesai untuk mereka.
Bagi McMullen, kurangnya kemajuan - meskipun ada tanda-tanda kemajuan - merupakan hal yang menarik. Dari sini, masalah tersebut mengandung rahasia yang tidak dapat dipahami oleh matematika modern. “Kami tidak dapat mengatasi masalah mendasar ini - artinya kami tidak memasuki area gelap,” katanya.
“Dibutuhkan ide yang benar-benar baru untuk menyelesaikannya,” kata Reichstein, yang mengembangkan idenya sendiri untuk menyederhanakan polinomial, sebuah konsep yang dia sebut sebagai “dimensi dasar”. "Tidak mungkin untuk memprediksi dari mana mereka akan datang."
Tapi Trinitas tidak menyerah. "Saya tidak akan menyerah," kata Farb. “Tugas ini pasti telah menjadi paus putih saya . Dia membuat saya tidak berhenti di jaringan koneksi ini, dan matematika yang mengelilinginya. "