Bagaimana empat ahli matematika memecahkan pertanyaan tentang bentuk geometris dasar dengan membuat daftar lengkap tetrahedra dengan sudut rasional menggunakan metode teori bilangan.
Semua 59 tetrahedra dengan sudut dihedral rasional dapat dilihat dari sisi yang berbeda dengan referensi .
Tetrahedron adalah bentuk tiga dimensi paling sederhana dengan sisi datar. Sifat utamanya telah membingungkan pikiran yang ingin tahu bahkan di zaman Plato dan Aristoteles. Dan pada November 2020, bukti terakhir diterbitkan , yang dengan andal mengidentifikasi semua tetrahedra khusus yang ada. Dalam karya ini, ahli matematika menjawab pertanyaan tentang sosok kuno berkat teknologi canggih yang memungkinkan penggunaan metode baru untuk menemukan solusi persamaan tertentu.
“Ini adalah objek matematika ideal yang akan selalu bersama kita, dan sekarang kita mengetahui semuanya,” kata Martin Weissman dari Universitas California, Santa Cruz.
Tetrahedron memiliki alas segitiga dan tiga sisi segitiga, membentuk piramida. Pasangan permukaan bersentuhan di sepanjang tepi untuk membentuk enam sudut dihedral.
Bukti baru mendefinisikan semua varian konfigurasi tetrahedron, di mana masing-masing dari enam sudut dihedral memiliki nilai rasional, yang berarti masing-masing dapat ditulis sebagai pecahan. Ini menyatakan bahwa tepat ada 59 contoh terpisah, serta 2 keluarga tetrahedra tak terbatas, yang memenuhi kondisi ini.
Faktanya, tetrahedron ini ditemukan oleh ahli matematika beberapa dekade yang lalu menggunakan metode pencarian komputer, tetapi mereka tidak tahu apakah ada yang lain. Lebih luas lagi, mereka tidak mengerti bagaimana membuktikan bahwa tidak ada tetrahedron serupa lainnya.
"Mereka ditemukan pada 1990-an, tetapi baru pada tahun 2020 kami dapat membuktikan bahwa daftar itu lengkap," kata Kiran Kedlaya , ahli matematika di Universitas California, San Diego. Kedlaya adalah salah satu penulis bukti bersama Alexander Kolpakov dari Universitas Neuchâtel di Swiss, Bjorn Punen dari Institut Teknologi Massachusetts, dan Michael Rubinsteindari University of Waterloo.
Samuel Velasco / Majalah Quanta
Masalah klasifikasi tetrahedra dengan sudut dihedral rasional mungkin tampak sederhana, tetapi butuh waktu bertahun-tahun akumulasi pengetahuan matematika untuk menyelesaikannya, serta daya komputasi yang tidak tersedia bahkan sepuluh tahun yang lalu.
“Kamu tidak bisa mendapatkan hasil seperti itu hanya dengan bermain dengan pena dan kertas. Mereka telah mengembangkan metode yang sangat canggih, ”kata Marjorie Seneschal dari Smith College.
Hampir tidak ada gambar dalam bukti 30 halaman itu. Sebaliknya, logika ini didasarkan pada penyelesaian persamaan polinomial di mana koefisien dan variabel dipangkatkan, misalnya, y = 3x 2+ 6. Tentu saja, persamaan yang dipertimbangkan dalam pembuktian itu jauh lebih rumit.
“Sebagian besar pekerjaan didasarkan pada teori bilangan, tetapi geometri terletak di permukaan,” kata Kedlaya.
Hubungan antara geometri dan teori bilangan memberi petunjuk kepada ahli matematika, tetapi mereka harus bekerja keras untuk mengembangkan gagasan ini, karena sangat sulit untuk menemukan solusi khusus untuk persamaan kompleks dan membuktikan bahwa Anda telah menemukan semuanya. Matematikawan tidak tahu bagaimana melakukan ini untuk kebanyakan persamaan.
“Tidak ada metode satu ukuran untuk semua yang selalu berhasil. Anda hampir tidak pernah bisa memecahkan persamaan, ”kata Peter Sarnak dari Institute for Advanced Study.
Hanya dalam kasus ini, ahli matematika berhasil! Dengan menemukan metode baru untuk menemukan solusi persamaan polinomial, mereka menjawab pertanyaan dasar tentang bentuk geometris dan mungkin mempermudah pencarian solusi persamaan lain di masa mendatang.
Menguji tetrahedron
Pertanyaan tentang mendefinisikan semua tetrahedra dengan sudut dihedral rasional (tetrahedra rasional) pertama kali dirumuskan secara resmi oleh John Conway dan Antonia Jones dalam makalah tahun 1976.
Mereka ingin menemukan tetrahedron yang dapat dipotong dan dirakit menjadi sebuah kubus dengan volume yang sama, sebuah properti yang dikenal sebagai kongruensi gunting. Dalam pekerjaan mereka, mereka mengembangkan penalaran kembali ke tahun 1900, ketika David Hilbert mengajukan 23 masalah yang memandu penelitian matematika di abad ke-20. Soal ketiganya terkait dengan pertanyaan berikut: apakah sepasang gambar tiga dimensi dengan gunting bervolume sama. Segera terbukti bahwa ini bukan masalahnya, tetapi ternyata semua tetrahedra rasional kongruen dengan kubus.
“Conway dan Jones mengajukan pertanyaan tetrahedra rasional sebagai kasus khusus dari masalah klasifikasi tetrahedra yang jauh lebih kompleks,” kata Kedlaya.
Ini adalah objek matematika ideal yang akan selalu bersama kita.
Martin Weissman, Universitas California, Santa Cruz.
Mereka mampu membuat sketsa metode untuk menemukan tetrahedra ini: memecahkan persamaan polinomial tertentu. Persamaannya mengandung enam variabel yang sesuai dengan enam sudut dihedral tetrahedron, dan memiliki 105 suku yang mencerminkan hubungan kompleks sudut dihedral tetrahedron satu sama lain. Sebagai perbandingan, bayangkan sebuah segitiga, tiga sudut interiornya terhubung dalam polinomial sederhana, yang hanya terdiri dari tiga bagian: a + b + c = 180 derajat.
Persamaan polinomial yang diidentifikasi oleh Conway dan Jones juga memiliki banyak solusi tak terhingga yang sesuai dengan konfigurasi tak terhingga dari kemungkinan tetrahedra. Conway dan Jones mengatakan bahwa untuk mendefinisikan tetrahedra dengan semua sudut dihedral rasional, matematikawan perlu mencari kelas solusi khusus untuk persamaan yang sama persis dengan tetrahedra rasional.
Mereka sendiri tidak tahu bagaimana menemukan solusi, tetapi mereka yakin itu bisa dilakukan: "Kemungkinan tetrahedron biasa ... yang sudut dihedralnya rasional, dapat ditemukan dengan menggunakan metode kami."
Lebih dari 40 tahun kemudian, empat ahli matematika telah mengkonfirmasi asumsi mereka.
Berakar dari satu
Strategi Conway dan Jones cukup umum di kalangan matematikawan yang sering mencari jenis solusi khusus saat mempelajari persamaan polinomial. Ini bisa menjadi solusi dalam bentuk bilangan bulat atau bilangan rasional. Atau, seperti dalam kasus ini, ini bisa menjadi solusi dengan nama elegan "root from one".
Kebanyakan akar salah satu tidak muncul pada garis bilangan normal. Sebaliknya, mereka ada di antara bilangan kompleks seperti 3 + 4i, yang memiliki bagian nyata (3) dan bagian imajiner (4). Akar persatuan berfungsi sebagai solusi untuk persamaan polinomial dan memiliki sifat aljabar khusus: menaikkannya ke pangkat tertentu menghasilkan 1. Selain itu, mereka memiliki representasi geometris yang elegan: semuanya terletak pada lingkaran satuan dalam bidang kompleks.
Untuk menyelesaikan persamaan polinomial Conway-Jones, Anda harus menetapkan bilangan kompleks ke keenam variabel agar persamaan 105 suku benar. Variabel tidak secara harfiah mewakili pengukuran sudut yang sebenarnya, tetapi menggantikan bilangan kompleks yang terkait dengan cosinus sudut. Conway dan Jones memperhatikan bahwa tetrahedron rasional akan sesuai dengan solusi polinomial di mana semua variabel adalah akar kesatuan.
“Enam sudut menjadi enam titik pada lingkaran satuan, dan bilangan kompleks ini diperlukan untuk memenuhi persamaan polinomial,” kata Weissman.
Samuel Velasco / Majalah Quanta
Namun, mengetahui korespondensi ini tidak berguna seperti yang terlihat. Menemukan solusi adalah satu hal. Dan membuktikan bahwa Anda telah menemukan semuanya adalah tugas yang sama sekali berbeda dan jauh lebih sulit.
Pada tahun 1995, dua penulis dari sebuah karya baru, Punen dan Rubinstein, benar-benar menemukan semua tetrahedra dengan sudut dihedral rasional, sebagaimana ternyata pada akhirnya. Nyatanya, mereka menebak-nebak cara menemukannya dengan mensubstitusikan kombinasi enam bilangan rasional ke dalam persamaan tersebut.
"Anda bisa mencoba mengambil enam bilangan rasional dan memasukkannya ke dalam persamaan," kata Poonen. “Masalahnya adalah hanya solusi yang bisa ditemukan dengan cara ini. Tapi dia tidak menjelaskan apakah semua opsi yang memungkinkan telah ditemukan. "
Cari setiap solusi
Dalam karya baru mereka, empat ahli matematika membuktikan bahwa daftar tetrahedra dengan sudut rasional yang ditemukan oleh Punen dan Rubinstein 25 tahun lalu sudah lengkap dan tidak ada contoh lain yang akan ditemukan.
Kolaborasi mereka dimulai pada Maret 2020 setelah Poonen mendengar dalam satu pembicaraan tentang karya terkait Kedlai, yang ditulis bersama oleh ahli matematika lain. Mereka mencari akar dari unit polinomial lain untuk memecahkan masalah klasifikasi lain. Poonen segera menyadari bahwa ini ada hubungannya dengan penelitian tetrahedron sebelumnya yang belum selesai.
“Bjorn sangat tertarik dengan pekerjaan saya,” kata Kedlay. "Dia berkata, 'Tunggu, itulah yang saya butuhkan di tahun 1990-an.'
Bjorn Punen menulis surat kepada Kiran Kedlae yang menjelaskan masalah dalam menemukan tetrahedron rasional. Surat pendeknya diakhiri dengan nada optimis. “Saya membahas masalah ini cukup jauh di tahun 1990-an [dengan Michael Rubinstein], dan saya pikir ini dapat diselesaikan dengan banyak upaya manusia dan komputer.
Pada tahun 2020, Kiran Kedlaya, Michael Rubinstein, Bjorn Punen dan Alexander Kolpakov menemukan cara baru untuk menyelesaikan persamaan dan dengan melakukan itu menemukan semua tetrahedra rasional.
Setelah surat ini, Kedlai beralih ke Kolpakov, yang juga menggunakan akar dari persatuan untuk mengklasifikasikan jenis-jenis bentuk geometris. Pada saat yang sama, Poonen menghubungi rekan penulisnya, Rubinstein. Setelah membuat tim, mereka dengan cepat mulai bekerja.
“Kami mengadakan pertemuan yang cukup teratur, mungkin dua jam seminggu selama beberapa bulan,” kata Kedlaya. Dan ketika mereka mulai menyusun daftar lengkap akar persatuan untuk polinomial Conway-Jones, mereka memiliki gagasan yang sangat luas tentang di mana mencarinya.
Mereka tahu bahwa solusi harus berada di bawah angka yang sangat besar, batas atas. Tapi perbatasannya begitu besar sehingga tidak ada pertanyaan untuk mengeksplorasi semua kemungkinan di bawahnya.
“Batasan enam variabel ini menakutkan. Tanpa ide-ide baru yang fundamental, solusi untuk masalah ini berada di luar jangkauan kemungkinan, ”kata Sarnak.
Empat ahli matematika membuat persamaan tersebut dapat dipecahkan melalui dua inovasi utama.
Pertama, mereka menurunkan batas atas. Dalam makalah baru mereka, mereka membuktikan bahwa satu persamaan polinomial kompleks yang mewakili tetrahedron sendiri dapat direpresentasikan sebagai beberapa polinomial sederhana.
"Kami sedang berpindah dari satu persamaan dengan enam variabel ke satu set ratusan persamaan yang lebih sederhana," kata Kedlaya.
Mereka membuktikan bahwa semua akar kesatuan dari polinomial sederhana ini terletak di bawah batas atas, yang jauh lebih kecil daripada batas atas yang luas dan belum dijelajahi yang terkait dengan polinomial yang lebih kompleks. Korespondensi antara persamaan yang lebih sederhana dan persamaan kompleks berarti bahwa mencari akar dari salah satu persamaan yang pertama akan menghasilkan akar dari persamaan yang terakhir. Sayangnya, interval yang lebih kecil ini masih terlalu lama bagi mereka untuk mengeksplorasi semua opsi yang memungkinkan.
Anda tidak bisa mendapatkan hasil ini hanya dengan bermain-main dengan pena dan kertas.
Marjorie Seneschal, Smith College
Inovasi kedua penulis terdiri dari pengembangan cara cerdas mencari dalam interval yang lebih kecil ini. Mereka mengetahui bahwa solusi memiliki struktur simetris tertentu, artinya jika ada solusi di satu bagian interval, pasti ada solusi di bagian lain interval.
Ini memungkinkan mereka untuk mengembangkan algoritme baru yang menggunakan struktur ini untuk mencari dengan lebih efisien. Selain itu, mereka menggunakan algoritme ini pada komputer yang jauh lebih kuat daripada yang dimiliki Conway dan Jones ketika mereka pertama kali mengusulkan penggunaan root dari 1 untuk memecahkan masalah.
“Ternyata kami harus sedikit mendesain ulang strategi [Conway dan Jones] dengan pengetahuan tambahan selama 40 tahun dan komputer yang lebih canggih,” kata Kedlay.
Algoritme baru menguji semua kemungkinan kombinasi solusi dalam interval yang lebih sempit. Atas dasar pencarian definitif yang lengkap ini, penulis akhirnya membuktikan bahwa hanya ada 59 contoh tetrahedra yang terpisah dengan sudut dihedral rasional dan dua keluarga tetrahedra yang tak terbatas (tepatnya yang telah ditemui Punen dan Rubinstein beberapa dekade sebelumnya). Tetrahedron di setiap keluarga tak terhingga berbeda dalam satu parameter, menawarkan opsi tak terbatas untuk memperbesar ukuran beberapa sudut dan mengurangi yang lain, sambil menjaga semua sudut dihedral tetap rasional.
Dalam penjelajahan ini, setiap orang akan menemukan sesuatu untuk dirinya sendiri.
Untuk ahli matematika yang tertarik untuk mengidentifikasi akar dari unit persamaan polinomial, artikel ini menawarkan cara baru yang mudah untuk menemukannya. Secara khusus, metode yang digunakan oleh penulis untuk mereduksi polinomial Conway-Jones yang kompleks menjadi banyak polinomial sederhana kemungkinan besar akan diterapkan pada persamaan polinomial kompleks lainnya yang tidak dapat diselesaikan secara langsung.
“Karya ini menunjukkan bahwa banyak masalah lain yang tampaknya tidak dapat diatasi mungkin dapat diselesaikan dengan ide-ide seperti itu,” kata Sarnak.
Dan bagi para ahli matematika dan semua orang yang menyukai kelengkapan, artikel ini memberikan jawaban baru dan sempurna: inilah semua tetrahedron yang hanya dapat Anda impikan.
“Ini prestasi yang luar biasa,” kata Sarnak.