Pernahkah Anda bertanya-tanya seperti apa kehidupan jadinya jika Bumi bukan bola, tetapi memiliki bentuk yang berbeda? Kami menerima begitu saja kelancaran planet kita melalui tata surya dan matahari terbenam yang lambat yang dapat kita nikmati berkat simetri rotasi bumi. Selain itu, Bumi bulat memungkinkan Anda menentukan cara tercepat untuk pergi dari titik A ke titik B: cukup berjalan dalam lingkaran yang melewati dua titik ini dan potong bola menjadi dua. Kami menggunakan jalur terpendek ini, yang disebut jalur geodetik, untuk merencanakan rute pesawat dan menghitung orbit satelit.
Tapi apa yang akan terjadi jika kita tinggal di Kuba? Dunia kita akan lebih bergoyang, cakrawala melengkung, dan jalur terpendek dari titik A ke titik B lebih sulit ditemukan. Anda mungkin tidak menghabiskan banyak waktu untuk membayangkan hidup Anda di atas kubus, tetapi ahli matematika akan: mereka mempelajari seperti apa perjalanan kita pada berbagai bentuk. Dan solusi terbaru untuk salah satu pertanyaan mendasar tentang dodecahedron secara umum telah mengubah pandangan dari objek yang telah ada di depan mata kita selama ribuan tahun.
Menemukan jalur terpendek bolak-balik (dari satu titik kembali ke titik yang sama di sekitar kubus) untuk benda geometris tertentu mungkin tampak seperti tugas yang sederhana. Bagaimanapun, Anda pasti akan kembali ke tempat Anda memulai, bukan?
Faktanya, itu tergantung pada bentuk atau tubuh tempat Anda berjalan. Jika ini sebuah bola, maka ya. (Dan ya, kami mengabaikan fakta bahwa Bumi bukanlah bola yang ideal, dan permukaannya tidak sepenuhnya mulus.) Pada bola, jalur berulang di sepanjang garis lurus "lingkaran besar", geodesik, misalnya, ekuator. Jika Anda mengelilingi ekuator, setelah sekitar 25.000 mil, Anda akan menyelesaikan satu lingkaran penuh dan kembali ke tempat Anda memulai.
Di dunia kubik, garis geodesik tidak begitu jelas. Menemukan jalur lurus pada satu sisi itu mudah karena setiap sisi datar. Tetapi jika Anda berjalan mengelilingi dunia kubik, bagaimana Anda akan terus berjalan lurus ketika Anda mencapai tepi?
Ada masalah matematika kuno yang lucu yang menggambarkan jawaban atas pertanyaan kita. Bayangkan seekor semut di salah satu sudut kubus yang ingin pergi ke sudut seberang. Berapakah jalur terpendek pada permukaan kubus dari titik A ke titik B?
Bayangkan banyak jalan berbeda yang mungkin diambil semut.
Tapi mana yang paling pendek? Ada cara jenius untuk memecahkan masalah tersebut. Mari kita ratakan kubusnya!
Jika kubus terbuat dari kertas, Anda dapat memotongnya di sepanjang tepinya dan meratakan lembarannya untuk mendapatkan pola yang tidak terlipat ini.
Dalam dunia yang datar seperti itu, mudah untuk menemukan jalur terpendek dari A ke B: cukup buat garis lurus di antara keduanya.
Untuk melihat seperti apa garis geodesik di dunia kubus, cukup letakkan kubus kembali. Inilah jalan pintas kami.
"Menyelaraskan" kubus berfungsi karena setiap permukaan kubus datar, jadi tidak ada yang terdistorsi saat kita membuka tubuh di sepanjang tepinya. (Upaya untuk "membuka" bola ini tidak akan berhasil, karena kita tidak dapat meratakan bola tanpa mendistorsinya.)
Sekarang setelah kita memiliki gagasan tentang seperti apa lintasan dalam garis lurus pada sebuah kubus, mari kita kembali ke pertanyaan apakah kita dapat mengikuti jalan lurus dan berakhir kembali ke tempat kita memulai. Tidak seperti bola, di atas kubus, tidak setiap jalur lurus membawa kita kembali ke awal.
Tapi rute pulang pergi seperti itu dimungkinkan. Dengan satu trik! Harap dicatat bahwa semut dapat melanjutkan jalur yang kami tunjukkan di atas dan kembali ke tempat semula. Pada kubus, lingkaran penuh membuat jalur yang lebih mirip berlian.
Mengikuti jalur ini (maju mundur), semut harus melewati titik sudut lain (titik B) sebelum kembali ke titik awalnya. Inilah tangkapannya: setiap jalur lurus yang dimulai dan berakhir pada simpul yang sama harus melalui simpul lain dari kubus.
Ternyata ini benar untuk empat dari lima padatan Platonis. Dalam kubus, tetrahedron, oktahedron, dan ikosahedron, setiap lintasan lurus yang dimulai dan berakhir pada simpul yang sama harus melewati beberapa simpul lain di sepanjang lintasan. Matematikawan membuktikan ini lima tahun yang lalu, tetapi dodecahedron tidak ada dalam daftar mereka. Kami akan membahasnya nanti.
Untuk memahami mengapa fakta tentang geodesik ini benar untuk empat dari lima padatan Platonis, kita akan menggunakan metode tumbling dan beralih ke dunia tetrahedral, di mana metode ini dapat didemonstrasikan dengan lebih baik.
Bayangkan memulai dari puncak tetrahedron dan berjalan dalam garis lurus di sepanjang tepinya. Tempatkan tetrahedron sehingga jalur dimulai dari tepi bawah.
Ketika kami menemukan sebuah tepi, kami membalik tetrahedron sehingga jalur kami berlanjut di sepanjang permukaan yang ternyata berada di bawah:
Rotasi semacam itu memungkinkan kami untuk melacak jalur kami dengan cara yang sama seperti yang akan kami lakukan saat membuka kubus:
Lintasan rotasi di atas mewakili jalur ini di permukaan tetrahedron:
Lima putaran tetrahedron sesuai dengan lima sisi tambahan yang dilintasi oleh rute kami.
Sekarang kita dapat membayangkan jalur apa pun di permukaan tetrahedron sebagai jalur di ruang yang "berputar" ini. Mari kita tentukan titik awal A kita dan lihat di mana akhirnya setelah beberapa belokan.
Ketika jalur kita meninggalkan titik A, tetrahedron jatuh ke sisi yang berlawanan. Ini meningkatkan titik A dari tanah.
Vertex A naik sementara di dunia kita yang berputar. Kami biasanya tidak menentukan lokasi titik A saat membuat ruang berputar kami, tetapi di sinilah tempat itu mungkin muncul jika kami melihat ke bawah.
Saat jalan kita berlanjut, tetrahedron jatuh lagi. Dia dapat melakukannya di salah satu dari dua arah yang mungkin, tetapi bagaimanapun juga, A sekali lagi berada di bawah.
Ketika kita membuat tetrahedron jatuh ke segala arah yang mungkin, kita mendapatkan jungkir balik yang terlihat seperti ini:
Ternyata semacam kisi karena fakta bahwa muka segitiga sama sisi dari tetrahedron bertepatan satu sama lain.
Kotak segitiga ini memberi tahu kita dua hal menarik tentang dunia pemintalan kita. Pertama, semua titik di mana simpul tetrahedron bisa mendarat adalah "titik kisi" (ditunjukkan dalam diagram) atau titik dengan koordinat bilangan bulat. Ini karena satu unit dalam sistem koordinat kita sama dengan panjang salah satu tepi tetrahedron.
Kedua, lihat di mana kemungkinan berakhirnya
A. Koordinat A selalu genap. Setiap kali A turun, ia kembali ke sana setelah dua putaran, jadi semua kemungkinan tempat pendaratan untuk A ditempatkan pada interval dua panjang tulang rusuk di setiap arah putaran.
Sekarang mari kita lihat apa yang dikatakan tentang garis geodetik. Ingatlah bahwa jalur dalam tetrahedron yang dimulai dan berakhir di titik A akan menjadi ruas garis lurus dalam ruang yang berputar, dimulai dari titik A (0,0) dan berakhir di titik A lainnya.Dan ketika titik awal dan akhir dari jalur tersebut bertepatan di tunggal A, apa yang akan berada di tengah jalan?
Bahkan dalam sistem koordinat kita yang membingungkan, rumus standar untuk menghitung titik tengah ruas garis masih berfungsi, jadi kita dapat menemukan koordinatnya berdasarkan koordinat titik ujungnya.
Karena kedua koordinat titik awal adalah 0 dan kedua koordinat titik akhir genap, koordinat tengah adalah bilangan bulat. Artinya, bagian tengahnya akan menjadi salah satu titik kisi, dan, seperti yang kita catat di atas, ini berarti bahwa itu sesuai dengan puncak segitiga dalam ruang yang berputar.
Misalnya, jalur dari (0,0) ke (4,2) memiliki titik tengah (2,1), ini adalah titik kisi yang ditandai di kisi kita.
Ternyata pada permukaan tetrahedron, jalur dari A dan kembali harus melewati simpul lain.
Karena setiap kemungkinan "pendaratan" untuk A memiliki koordinat genap, titik tengah setiap jalur geodesi yang dimulai dan berakhir di A akan sesuai dengan titik kisi. Hal ini membuktikan bahwa setiap garis geodesik dari A ke A pada permukaan tetrahedron pasti melewati simpul yang lain. Penalaran
sederhana ini dielaborasi pada tahun 2015 oleh ahli matematika Diana Davis, Victor Dods, Cynthia Traub, dan Jed Young. Mereka menggunakan metode yang serupa tetapi jauh lebih kompleks untuk membuktikan hal yang sama untuk sebuah kubus. Tahun berikutnya Dmitry Fuks mengonfirmasi
hasil untuk oktahedron dan ikosahedron. Karena itu, kita tahu bahwa untuk tetrahedron, kubus, oktahedron dan ikosahedron tidak ada lintasan lurus dari simpul kembali ke dirinya sendiri yang tidak akan melewati simpul lain.
Tetapi pertanyaan tentang keberadaan jalur seperti itu di permukaan dodecahedron tetap terbuka hingga 2019, ketika ahli matematika Jayadev Atreya, David Avlikino, dan Patrick Hooper membuktikan bahwa itu memang mungkin. Faktanya, mereka menemukan banyak jalur lurus tak terhingga pada permukaan pigura berduabelas segi yang dimulai dan berakhir pada simpul yang sama tanpa melalui yang lain.
Inilah salah satunya, digambarkan pada pindaian dodecahedron, tersembunyi di depan mata.
Padatan platonis telah dipelajari bersama selama ribuan tahun karena memiliki banyak kesamaan. Tapi sekarang kita tahu sesuatu yang baru tentang dodecahedron, dan ini jelas membedakannya dari benda lain.
Penemuan misterius ini menunjukkan bahwa tidak peduli seberapa baik kita memahami objek matematika, selalu ada sesuatu untuk dipelajari. Penting untuk diingat bahwa jalur dari masalah ke solusi tidak akan selalu mudah!
Tugas
1. Jika panjang tepi sebuah kubus adalah 1, berapakah jalur terpendek untuk semut dari satu titik ke sudut sebaliknya?
2. Jelaskan mengapa diagram di bawah ini tidak bisa menjadi jalur rotasi pada kubus.
3. Salah satu kesulitan dalam "memutar" kubus adalah titik A tidak memiliki posisi ujung unik yang terkait dengan posisi ujung kubus. Misalnya, meskipun kubus berada di tempat yang sama, berputar di sepanjang jalur merah atau biru, titik A berada di posisi yang berbeda. Tentukan di mana A akan berada setelah belokan di sepanjang lintasan merah dan biru.
4. Ini adalah lintasan rotasi kubus.
Gambarlah jalur di permukaan kubus, dimulai dari titik A.
Jawaban
Klik untuk melihat jawaban 1
— 1 2.
, AB √5.
, AB √5.
Klik untuk melihat jawaban 2
, 1 . , , .
, «» , .
, «» , .
, 3
.
, .
, .
, 4
