Untuk waktu yang lama ahli matematika telah mencoba memecahkan masalah kambing yang merumput yang diikat ke pagar. Tapi sampai sekarang, mereka hanya bisa menawarkan solusi kasar.
Inilah tugas sederhana untuk Anda . Bayangkan pagar dalam bentuk lingkaran, dengan area padang rumput tertutup di dalamnya. Anda memasukkan kambing ke dalam dan mengikatnya dengan tali ke pagar. Berapa lama Anda membutuhkan tali agar kambing dapat mengakses tepat setengah dari area ini?
Ini terlihat seperti tugas geometri sekolah menengah - namun, matematikawan profesional dan amatir telah memikirkannya dalam formulasi yang berbeda selama lebih dari 270 tahun. Beberapa varian dari masalah ini telah berhasil dipecahkan, tetapi teka-teki tentang seekor kambing di dalam lingkaran tidak memberi kita apa-apa kecuali jawaban yang tidak jelas dan tidak lengkap.
Sampai hari ini, "tidak ada yang tahu jawaban pasti untuk pertanyaan dasar," kata Mark Meyerson., seorang ahli matematika dari Akademi Angkatan Laut AS. "Solusinya selalu kasar."
Namun, pada tahun 2020, matematikawan Jerman Ingo Ullisch akhirnya membuat kemajuan . Dia menemukan, seperti yang diyakini, solusi tepat pertama untuk masalah ini - meskipun terlihat cukup rumit dan tidak bisa dipahami.
"Ini adalah ekspresi panjang tali akurat pertama yang saya tahu," kata Michael Harrison , ahli matematika di Universitas Carnegie Mellon. "Ini jelas merupakan terobosan."
Ullisch mengakui bahwa keputusannya tidak akan mencoret buku teks atau mendorong revolusi matematika. Tugas ini diisolasi. "Ini tidak terkait dengan masalah lain, dan tidak termasuk dalam teori matematika." Tetapi selalu ada kemungkinan bahwa teka-teki semacam itu akan memunculkan beberapa ide matematika baru, atau akan membantu peneliti menemukan pendekatan lain untuk masalah lain.
Di dalam dan di sekitar lumbung
Masalah pertama dari jenis ini diterbitkan pada 1748 di majalah wanita berkala London The Ladies Diary: Or, The Woman's Almanack [Lady's Diary, atau Women's Almanac]. Majalah itu menjanjikan "kemajuan baru dalam seni dan sains serta banyak hal kecil yang menyenangkan".
Skenario asli menampilkan seekor kuda yang merumput dengan tali di taman. Dalam tugasnya, kuda diikat di luar pagar. Jika panjang tali sesuai dengan keliling pagar, di area mana kuda bisa merumput? Nantinya, tugas ini disebut “di luar”, karena padang rumput di dalamnya bukan di dalam lingkaran, tetapi di luar.
Jawaban dari teka-teki itu muncul di edisi 1749. Jawabannya disusun oleh seorang "Mr. Heath", antara lain berdasarkan pada buku referensi "tabel penelitian dan logaritma". Dia memberikan jawabannya: 76.257,86 yard persegi dengan tali 160 yard. Dan ini jawaban kasar, bukan perhitungan pasti. Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh: Anda dapat menulis jawaban numerik perkiraan untuk persamaan x 2 - 2 = 0, x = 1,4142, tetapi ini tidak akan seakurat atau memuaskan seperti x = √2.
Masalah muncul lagi pada tahun 1894 dalam edisi pertama American Mathematical Monthly, direvisi untuk kasus ketika hewan merumput di dalam pagar. Jenis tugas ini disebut "internal", dan rata-rata lebih sulit daripada eksternal, Ullish menjelaskan. Pada soal eksternal, Anda bisa mulai dari jari-jari lingkaran dan panjang tali, lalu menghitung luasnya. Itu dapat diselesaikan melalui integral.
“Memecahkannya dengan arah yang berlawanan, dimulai dengan area tertentu dan menanyakan masukan apa yang mengarah ke sana, jauh lebih sulit,” kata Ullisch.
Dalam dekade-dekade berikutnya, setiap bulan menerbitkan versi yang berbeda dari masalah internal, kebanyakan melibatkan kuda (dan setidaknya dalam satu kasus, bagal) dan bukan kambing. Ada pagar bulat, persegi, dan elips. Tetapi pada 1960-an, karena alasan misterius, kambing mulai secara bertahap menggantikan kuda dalam literatur. Terlepas dari kenyataan bahwa menurut ahli matematika Marshall Fraser, kambing "terlalu mandiri untuk hidup dengan tali".
Kambing dalam dimensi yang lebih tinggi
Pada 1984, Fraser berkreasi dengan mengangkat masalah dari tema pastoral datar ke lanskap yang lebih kompleks. Dia menghitung berapa panjang tali yang dibutuhkan kambing untuk merumput tepat di setengah volume bola berdimensi-n ketika n mendekati tak terhingga. Meyerson menemukan kesalahan logis dalam penalarannya dan kemudian di tahun yang sama memperbaikinya , tetapi sampai pada kesimpulan yang sama. Ketika n mendekati tak terhingga, rasio panjang tali dengan jari-jari bola cenderung √2.
Meyerson mencatat bahwa cara yang tampaknya lebih kompleks untuk mendeskripsikan masalah ini, dalam ruang multidimensi alih-alih lapangan dengan rumput, sebenarnya mempermudah untuk menemukan solusi. "Dalam dimensi yang tak terbatas, kami memiliki jawaban yang tepat, dan dalam dua dimensi, solusi yang begitu jelas tidak ada."
Ada dua jenis masalah bagi kambing yang merumput. Keduanya diasosiasikan dengan seekor kambing yang diikat pada pagar bulat. Versi internal menanyakan tentang panjang tali yang akan memberikan akses tepat ke setengah dari area tertutup. Di luar bertanya di area mana kambing memiliki akses untuk mengetahui panjang tali dan jari-jari pagar (pada gambar, panjang tali sama dengan keliling pagar).
Pada tahun 1998, Michael Hoffman, matematikawan lain di Akademi Angkatan Laut AS, mengembangkan masalah ke arah yang berbeda ketika dia menemukan contoh masalah luar di grup berita. Dalam versi itu, perlu untuk memperkirakan area yang tersedia untuk seekor sapi jantan yang diikat di luar silo melingkar. Masalah ini menarik perhatian Hoffman, dan dia memutuskan untuk menggeneralisasikannya tidak hanya pada lingkaran, tetapi juga pada kurva cembung halus, termasuk elips dan bahkan kurva yang tidak tertutup.
“Ketika dihadapkan pada pernyataan masalah untuk kasus sederhana, seorang ahli matematika akan mencoba mencari cara bagaimana hal itu dapat digeneralisasikan,” kata Hoffman.
Hoffman mempertimbangkan kasus di mana harness dengan panjang L kurang dari atau sama dengan setengah panjang kurva. Pertama, dia menggambar garis singgung tempat tali diikat. Seekor banteng bisa merumput membentuk setengah lingkaran dengan luas πL 2/ 2 dibatasi oleh garis singgung. Hoffman kemudian menghitung luas yang tepat antara garis singgung dan kurva melalui sebuah integral.
Belakangan, Graham Jameson , seorang matematikawan di Universitas Lancaster, dan putranya Nicholas datang dengan solusi rinci untuk masalah internal dalam tiga dimensi. Mereka memilih acara ini karena kurang populer. Karena kambing tidak dapat bergerak dalam tiga dimensi dengan begitu mudah, Jameson menjuluki tugas ini sebagai "masalah burung" dalam makalah tahun 2017. Bunyinya seperti ini: jika Anda mengikat burung ke sangkar berbentuk bola, berapa panjang tali yang seharusnya membatasi gerakannya hingga tepat setengah volumenya?
“Masalah dalam tiga dimensi sebenarnya lebih mudah dipecahkan daripada dua,” kata Jameson Sr. Hasilnya, pasangan itu menemukan solusi yang tepat. Namun, karena bentuk matematis dari jawabannya adalah, dalam kata-kata Jameson, "akurat tapi mengerikan" dan dapat menakuti para peneliti yang tidak berpengalaman, mereka juga menemukan metode kalkulasi kasar yang mengukur panjang tali yang akan dinikmati "pecinta burung".
Dapatkan kambingnya
Namun demikian, solusi yang tepat dari masalah dua dimensi dalam rumusan tahun 1894 tersebut menghindari para ahli matematika - hingga munculnya karya Ullisch pada tahun 2020. Ullish pertama kali mendengar tentang tugas ini dari seorang kerabatnya pada tahun 2001, saat ia masih kecil. Dia mulai mengerjakannya pada tahun 2017, menerima gelar doktor dari Wilhelm University of Westphalia di Münster. Dia memutuskan untuk mencoba pendekatan baru.
Pada saat itu, diketahui bahwa masalah kambing dapat direduksi menjadi persamaan transendental tunggal , yang menurut definisi mencakup istilah trigonometri seperti sinus dan kosinus. Ini dapat menimbulkan masalah, karena banyak persamaan transendental tidak dapat diselesaikan. Misalnya, persamaan x = cos (x) tidak memiliki solusi eksak.
Ingo Ullish
Namun, Ullish merumuskan masalah sedemikian rupa untuk menyediakan dirinya dengan persamaan transendental yang lebih patuh: sin (β) - β cos (β) - π / 2 = 0. Dan meskipun mungkin juga tampak tidak dapat diakses, ia menyadari bahwa itu dapat didekati menggunakan kompleks analisis - cabang matematika yang menerapkan alat analisis pada persamaan dengan bilangan kompleks. Analisis komprehensif telah ada selama berabad-abad, tetapi Ullish, sejauh yang dia tahu, adalah orang pertama yang melakukan pendekatan ini pada kambing lapar.
Dengan strategi ini, dia mampu mengubah persamaan transendentalnya menjadi ekspresi yang setara dengan panjang tali yang memungkinkan kambing merumput di setengah area terbatas. Artinya, dia akhirnya menjawab pertanyaan tersebut dengan menggunakan rumus matematika yang tepat.
Solusi untuk masalah ini diberikan dalam bentuk kosinus rasio dua integral lengkung (rumus dari Wikipedia)
Sayangnya, ada tangkapan. Solusi Ullisch bukanlah ekspresi sederhana seperti akar kuadrat 2. Ini adalah hal yang rumit seperti rasio dua integral lengkung yang dicampur dengan fungsi trigonometri yang berbeda. Dari sudut pandang praktis, ini tidak akan memberi tahu Anda dengan tepat berapa panjang tali kambing seharusnya. Untuk mendapatkan jawaban yang dapat diterapkan pada pertanian, Anda tetap perlu melakukan beberapa perhitungan kasar.
Tetapi Ullish masih menganggap solusi yang tepat itu berharga, meski tidak begitu indah dan sederhana. “Jika kita hanya menggunakan nilai numerik atau aproksimasi, kita tidak akan memahami esensi dari hakikat solusi,” katanya. "Rumusnya memberi kita pemahaman tentang bagaimana solusi itu diturunkan."
Jangan menyerah kambing
Ullisch telah mengesampingkan kambing yang merumput untuk saat ini, karena dia tidak yakin ke mana harus pergi selanjutnya. Tapi ahli matematika lain sudah mengembangkan ide mereka sendiri. Harrison, misalnya, sedang menyiapkan makalah untuk diterbitkan di Majalah Matematika, di mana dia mengeksplorasi properti bola untuk mendekati generalisasi tiga dimensi dari masalah kambing.
"Dalam matematika, seringkali berguna untuk menemukan cara-cara baru untuk mendapatkan jawaban - bahkan untuk masalah yang telah dipecahkan," kata Meyerson, "karena semua ini dapat digeneralisasikan untuk digunakan dalam masalah lain."
Inilah sebabnya mengapa ahli matematika menghabiskan begitu banyak tinta untuk hewan imajiner. “Naluri saya memberi tahu kami bahwa mengatasi masalah kambing penggembalaan tidak akan memberi kami terobosan apa pun,” kata Harrison, “tetapi Anda tidak dapat memastikannya. Matematika baru bisa datang dari mana saja. "
Hoffman lebih optimis. Persamaan transendental Ullisch terkait dengan persamaan transendental yang dipelajari Hoffman dalam makalah 2017. Dia, pada gilirannya, menjadi tertarik pada mereka berkat karya 1953, yang memamerkan metode konvensional dalam sudut pandang baru. Pendekatan ini mengingatkannya pada bagaimana Ullisch menerapkan metode terkenal dalam analisis kompleks pada persamaan transendental dalam kondisi baru - dalam hal ini, dalam masalah progosis.
"Orang-orang yang membuat terobosan mendasar dalam matematika tidak bertanggung jawab atas semua kemajuan," kata Hoffman. "Kadang-kadang berdasarkan fakta bahwa seseorang mempelajari pendekatan klasik dan menemukan di dalamnya metode baru untuk memecahkan teka-teki, yang pada akhirnya dapat membawa hasil baru."