🙇🏿 📦 🎄 Pola dalam distribusi bilangan prima 🌜 🙎🏾 🈷️

pengantar

Bilangan prima adalah bilangan asli yang memiliki tepat dua pembagi alami berbeda - satu dan dirinya sendiri. Angka-angka seperti itu sangat menarik. Faktanya adalah bahwa tidak ada yang mampu memahami dan mendeskripsikan pola dimana bilangan prima ditempatkan dalam deretan bilangan asli.

Bahkan sebelum era kita, Euclid merumuskan dan membuktikan teorema pertama tentang bilangan prima. Sejak itu, matematikawan, di antaranya Gauss, Fermat, Riemann, Euler, melanjutkan penelitian mereka dan kami harus memberi penghormatan kepada mereka karena telah membuat kemajuan yang signifikan. Banyak properti menarik dari bilangan prima telah ditemukan, banyak asumsi telah dibuat, beberapa di antaranya telah terbukti. Namun, banyak hipotesis yang berhubungan dengan bilangan prima masih tetap tidak berdasar.

Distribusi bilangan prima

Tugas utama, yang penyelesaiannya secara otomatis akan mengarah pada solusi dari sebagian besar pertanyaan yang berhubungan dengan bilangan prima, adalah sebagai berikut:

Dapatkan rumus berulang untuk bilangan prima berikutnya

$p_ {n + 1} = f (n, p_1, p_2, ..., p_n),$

p _n - b bilangan prima ke- n ( p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , p ₃ = 5 , ...)

Ada masalah terkait tentang jumlah bilangan prima yang tidak melebihi nilai yang diberikan:

Tentukan fungsi p (x) yang nilainya pada titik x sama dengan banyaknya bilangan prima pada segmen [ 1, x ] . Dimana x adalah bilangan real tidak kurang dari satu.

Fungsi $\ pi (x)$ tersebut dinamakan fungsi distribusi bilangan prima.

Ada banyak pendekatan untuk memecahkan masalah di atas. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya.

, ( , ).

, , , , .

p₁ =2. 2, 2k+1, k – . — .

p₂ = 3. 3m+1, 3m+2, m – . , . , 2k+1.

$\ begin {larik} {} {2k + 1 = 3m + 1, \\ 2k + 1 = 2m + 2,} \ end {larik}$

k m , p₃ p = 6t + 1 , p = 6t + 5 , t – .

, :

$\ begin {larik} {} {5 = 6 * 0 + 5, \\ 7 = 6 * 1 + 1, \\ 11 = 6 * 1 + 5, \\ 13 = 6 * 2 + 1.} \ end { Himpunan}$

, 6t+1 6t+5 . , 25 = 6 * 4 + 1 .

p₃ = 5. , , 5, p₁ = 2 p₂ = 3, , p₄

$\ begin {larik} {} {p = 30t + 1, \; \; \; \; \; \; p = 30t + 11, \\ p = 30t + 7, \; \; \; \; \; \; p = 30t + 17, \\ p = 30t + 13, \; \; \; \; p = 30t + 23, \\ p = 30t + 19, \; \; \; \; p = 30t + 29} \ end {larik}$

p₄, p₅ .. , , .

, . , . , , .

, . F(x) , x p₁, p₂, …, p_n. ? ( ), p₁, p₂, … , p_n - p_n+1 ( ). , F(p_n+1 -1) = 1 ( — ), F(p_n+1) = 2 ( p_n+1). , F(x) , p_n+1.

, F(x)? . , p₁, p₂, …, p_n?

p₁ = 2. , $\ frac {1} {2}$ p₁.

3. , $\ frac {1} {3}$ p₂. , 2 3 .

, 2, 3

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} + \ frac {1} {p_1 * p_2} = 1 - \ frac {1} {2} - \ frac {1} {3} + \ frac {1} {2 * 3}.$

, :

$(1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2})$

, p₁, p₂, …, p_n,

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} -...- \ frac {1} {p_n} + \ frac {1} {p_1 * p_2} + \ frac {1} { p_1 * p_3} + ... + \ frac {1} {p_ {n-1} * p_ {n}} - \ frac {1} {p_1 * p_2 * p_3} -... + (- 1) ^ n \ frac {1} {p_1 * p_2 * ... * p_n}.$

$P (n) = (1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2}) (1- \ frac {1} {p_3}) ... (1- \ frac { 1} {p_n}) \ qquad \ qquad (1)$

P(n). , (n→∞), .

, F (x) = x * P (n) . , P(n) n . n 1 N, N - , P(n), .

? (1), , , p_n, $\ frac {1} {p_n}$ . . , 1,2, 3,4,5,6,7,8,9. 4 9 . , $\ frac {4} {9}$ $\ frac {1} {2}$ . , , .

. , (, ) p_n+1- . , — . , , .

$n * ln (n) + n * ln (ln (n)) - \ frac {3} {2} n <p_n <n * ln (n) + n * ln (ln (n))$

n, 6.

$\ frac {x} {ln (x)} <\ pi (x) <1,25506 \ frac {x} {ln (x)}$

$\ pi (x)$ , - . , , . , .

. , , , , . - , .

. ( ). :

, 2, ?

2. -

p , p + 2 ?

, ?

p .

, 2020 . .

1.

: () ().

: , 5, .

2013 . 133 .

: , , .

, .

, . , . . 11 . .

: , , , ? . N, , .

$K \ geq N$ . p₁ p₂, K = p_1 + p_2 . , , , . p₁ – . — 2. , $2 + p_2 = K \ sisi kanan p_2 = K-2$ . , K-2 ( K ) . N, , , N-2, . . , $\ pi (n) \ sim \ frac {n} {2}$ n→ ∞. , $\ pi (n) \ sim n * ln (n)$ n→ ∞.