🧑🏾‍🤝‍🧑🏾 ⚕️ 🕗 Penjelasan intuitif tentang integral. Bagian I - dari mengalikan bilangan asli ke Newton dan Leibniz 🔎 🤶🏼 ✍🏾

0. Kata Pengantar

Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan yang serba guna, kuat, dan elegan. Faktanya, pokok bahasan dan maknanya tidak dapat dibagikan dengan bagian paling mendasar dari filsafat - logika, ontologi, dan teori pengetahuan. Itulah mengapa ini menyangkut secara langsung atau tidak langsung semua aspek dari pengetahuan terapan atau teoretis.

Sayangnya, kebetulan bagi banyak orang (dan bagi saya) sains terkadang tampak terlalu rumit, tidak dapat diakses, bagi kaum elit. Sementara itu, sepertinya memang begitu! Tentu saja, ini membutuhkan usaha intelektual, ingatan, imajinasi dan banyak lagi, seperti banyak pencarian intelektual lainnya.

Fitur khasnya adalah:

penggunaan sistem tanda khusus (angka, huruf dari berbagai abjad, aturan bahasa, dll.),
ketelitian logis (konsep, definisi, penilaian, aturan inferensi diatur dalam bentuk yang eksplisit dan tepat),
urutan (Anda tidak akan memahami poin 3 jika Anda tidak memahami poin 1 dan 2),
kepadatan informasi yang tinggi per unit teks (sering kali lebih masuk akal dalam teks daripada dalam teks konten lainnya).

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa setiap orang yang berkembang secara intelektual secara teratur menggunakan konstruksi mental yang sama seperti matematika. Ketika kita mengatakan, mari pertimbangkan sepuluh operasi (algoritma) apa pun seperti resep atau program paling sederhana, atau pertimbangkan kasus tertentu dari suatu fenomena, tentukan propertinya, hubungannya dengan fenomena lain, pelajari struktur - kita menggunakan cara berpikir universal yang merupakan karakteristik dari pengetahuan apapun, termasuk matematika.

Artikel ini tidak akan pernah muncul jika literatur pendidikan begitu sempurna sehingga dapat dengan mudah menjelaskan apa itu integral. Setelah membaca lusinan buku dan artikel, saya dapat mengatakan dengan yakin bahwa tidak satupun dari mereka menjelaskan semua nuansa masalah ini sedemikian rupa sehingga semuanya benar-benar jelas bagi orang biasa dan tidak berpengalaman.

- , , , -
, ….
( , , , , ..)
,
, ,
, «» ,

— , .

1.

. — , , , , , , .. , .

, .

« » «... , , , » [1].

. , .

, , , .

2. -

, , — -. - () (). - [2], , , ..

, . ( , XVI ), . , , , , , , , .

, ( ) . , , . , .

. <i> </i>. . , , — . - .

, , , .

, . :

. , 3 4, 3 × 4. — , [3].
.
- — , . , 3,5 2, — 3,5 × 2. — , . , 3,5 3 2, 0,5 2. — , — , .
- — . , 3,5 2,1 — 3,5 × 2,1, 3,5 2 3,5 0,1 [4]. , — , — .
- (-2,3 × 4,3), — — 9,89 , , -9,89.
(3 × 3i), .

«» , , ( , , ), . — .

, , — .

, , , ( , ).

( , ). .

(): , , , , « ».
( ): , . , (, . .).

, ( , ) ,

$Kumulatif \ jumlah \ perkiraan S (x) \ sekitar S_1 (\ Delta x_1) + S_2 (\ Delta x_2) +… + S_n (\ Delta x_n) \ quad (ii.1)$

Sebuah a = x_0 b = x_n .

, ( — - )

$\ lim_ {n \ sisi kanan + \ infty} S (x) = S_1 (\ Delta x_1) + S_2 (\ Delta x_2) +… + S_n (\ Delta x_n) \ quad (ii.2)$

. , , . , .

, XVI ( , , ) XIX .

3.

, ? :

, , . , ( ). , . , .

2. , , (). . , . . .

3. ().

4.

, , . () ().

, — y = f (x) [5].

, — ( — ).
( , ,
. ( ). ( , — , ..).
— , , ..

(- ) ( ). Sebuah .

, , . , , [6].

, [7]. -, ().

() . , , , — ()

$v (t) = S '(t) = \ lim_ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta S} {\ Delta t} \ quad (iv. 1)$

, . , . , .

$dif \ quad S (t) \ rightarrow S '(t) = v (t) \ quad (iv. 2)$ $int \ quad S (t) \ leftarrow S '(t) = v (t) \ quad (iv. 3)$

$int \ quad F (t) \ leftarrow S '(t) = v (t) \ quad (iv. 4)$

, , () (), [8].

, Sebuah , — ,

$\ Integral \ sum = F (b) - F (a) \ quad (iv. 5)$

, ,

$\ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ quad (iv. 6)$

[1]. .. . — .: , 1974. . 4

[2]. , , .

[3]. , , .

[4]. 3,5 · 2 + 3,5 · 0,2 = 3,5 (2 + 0,1) = 3,5 · 2,1

[5]. , , z (x), fungsi (x), Delta (x) — . , — , .

[6]. - — , - x_1, x_2, ..., x_n A (x) f (x) . , , f (x) A (x) , A (x) = f '(x) F '(x) = f (x) .

[7]. Begitulah $F (x_1) \ neq F '(x_1)$ . Misalnya, suatu fungsi diberikan oleh ekspresi F '(x) = 2x + 3 . Lalu, kapan x_2 = 2 , F '(x_2) = 9 dan nilai F (x_2) = 18 . Jika F '(x) = 0x + 3 . Lalu, kapan x_2 = 2 , F '(x_2) = 3 dan nilai F (x_2) = 6 .