Latihan dalam matematika murni menyebabkan terciptanya teori skala besar tentang struktur dunia
Suatu saat di pertengahan musim panas 2016, ahli matematika Hongaria Gabor Domokos melangkah ke beranda rumah Douglas Jerolmak , seorang ahli geofisika dari Philadelphia. Domokosh membawa koper bepergian bersamanya, flu yang parah dan rahasia yang membara.
Beberapa saat kemudian, dua pria berjalan di sepanjang jalan berkerikil di halaman belakang tempat istri Jerolmak menyimpan gerobak taco. Batu kapur yang hancur berderak di bawah kaki mereka. Domokosh menunjuk kakinya.
"Berapa banyak segi yang dimiliki masing-masing batu ini?" - Dia bertanya. Lalu dia menyeringai. "Bagaimana jika saya memberi tahu Anda bahwa biasanya ada enam dari mereka?" Dan kemudian dia mengajukan pertanyaan yang lebih umum yang dia harap akan selalu ada di otak rekannya. Bagaimana jika dunia terbuat dari kubus?
Jerolmak keberatan pada awalnya: mungkin rumah dibangun dari batu bata, tetapi Bumi terbuat dari batu. Dan bentuk batunya jelas berbeda. Mika hancur menjadi sisik, kristal pecah di sepanjang sumbu yang ditentukan secara kaku. Namun, Domokosh berargumen bahwa matematika murni sendiri menyiratkan bahwa setiap batu yang pecah secara acak akan menghasilkan bentuk dengan rata-rata enam wajah dan delapan simpul. Jika kita mengambil rata-rata untuk semuanya, itu akan cenderung menjadi semacam kubus yang ideal. Domokosh mengatakan dia membuktikannya secara matematis. Sekarang dia membutuhkan Jerolmak untuk membantunya menunjukkan bahwa ini juga terjadi di alam.
"Itu adalah prediksi geometris yang jelas, lahir dari alam, dan tanpa fisika apa pun," kata Jerolmak, seorang profesor di University of Pennsylvania. "Bagaimana mungkin alam mengizinkan ini?"
Selama beberapa tahun berikutnya, pasangan itu mengeksplorasi ide geometris mereka, menjelajahi segala sesuatu mulai dari fragmen batuan mikroskopis hingga singkapan batuan geologi, permukaan planet, dan bahkan dialog Timaeus Plato . Semua ini menutupi proyek dengan sentuhan mistisisme. Salah satu filsuf terbesar sekitar 360 SM memetakan lima padatan platonisdengan lima "elemen" alam semesta: bumi, udara, api, air, dan materi bintang. Secara kebetulan dan / atau ramalan yang beruntung, Plato membandingkan kubus, yang paling baik ditumpuk, dengan tanah. “Dan saya pikir - oke, sekarang kita sudah sedikit memasuki wilayah metafisika,” kata Jerolmak.
Gabor Domokos dan Douglas Jerolmak
Namun, mereka terus menemukan kubus sedang di alam, serta beberapa bentuk yang tidak terlihat seperti kubus, tetapi mengikuti teori yang sama. Hasilnya, mereka menciptakan platform matematika baru: bahasa deskriptif yang mengungkapkan bagaimana segala sesuatunya berantakan. Diterbitkan tahun ini, karya bersama mereka dengan judul menyerupai volume esoterik dari seri Harry Potter: Kubus Plato dan Geometri Alami Fragmentasi.
Beberapa ahli geofisika yang dihubungi oleh jurnal tersebut mengatakan platform matematika yang sama dapat digunakan untuk tugas lain, seperti mempelajari erosi patahan batuan, atau mencegah tanah longsor yang berbahaya. “Ini sangat menarik,” kata ahli geomorfologi Mikael Attal dari Universitas Edinburgh, salah satu dari dua peninjau karya ini. Pengulas lain, ahli geofisika David Furbisch dari Vanderbilt University, berkata, "Jenis pekerjaan ini membuat saya bertanya-tanya apakah saya bisa memanfaatkan ide-ide ini?"
Semua kemungkinan kesalahan
Jauh sebelum kunjungannya ke Philadelphia, Domokosh memiliki pertanyaan matematika yang lebih tidak berbahaya.
Katakanlah Anda menghancurkan sesuatu menjadi banyak bagian. Sekarang Anda memiliki mozaik - seperangkat bentuk yang dapat disatukan tanpa tumpang tindih atau pecah, seperti lantai di pemandian Romawi kuno. Juga, asumsikan bahwa semua bentuk cembung.
Pada awalnya, Domokosh bertanya-tanya apakah mungkin hanya dengan geometri untuk memprediksikan angka rata-rata dari mozaik semacam itu. Kemudian dia ingin belajar bagaimana mendeskripsikan semua kemungkinan set figur seperti itu.
Dalam dua dimensi, Anda tidak perlu memecah apa pun untuk mempelajari masalah ini. Ambil selembar kertas. Potong secara acak dengan membagi lembaran menjadi dua. Kemudian buat satu potongan di setiap poligon ini. Ulangi proses ini beberapa kali. Hitung jumlah rata-rata simpul untuk setiap lembar kertas.
Bagi seseorang yang mempelajari geometri, menemukan jawaban atas pertanyaan ini tidak akan terlalu sulit. "Saya menaruh sekotak bir, yang bisa saya bantu Anda mendapatkan formula ini dalam beberapa jam," kata Domokosh. Rata-rata, potongan harus memiliki empat simpul dan empat sisi, dan bentuk rata-rata adalah persegi panjang.
Masalah yang sama dapat dilihat dalam tiga dimensi. Sekitar 50 tahun yang lalu, seorang fisikawan nuklir Rusia, penerima Hadiah Nobel Perdamaian, dan kemudian seorang pembangkang, Andrei Dmitrievich Sakharov memikirkan masalah yang sama ketika dia memotong kubis bersama istrinya. Berapa banyak simpul rata-rata yang akan dimiliki setiap potongan yang dihasilkan? Sakharov menyerahkan tugas ini kepada matematikawan Soviet legendaris Vladimir Igorevich Arnold dan muridnya. Namun, mereka tidak menemukan solusi yang lengkap, dan upaya mereka sebagian besar terlupakan.
Batu-batu besar Moeraki di Selandia Baru
Domokosh, yang tidak tahu tentang pekerjaan mereka, menulis bukti, jawabannya adalah kubus. Tapi dia ingin memeriksa kebenarannya. Dia memutuskan bahwa jika jawaban untuk masalah ini sudah ada, itu harus disembunyikan dalam karya tak terduga dari matematikawan Jerman Wolfgang Weil dan Rolf Schneider - titan 80 tahun dari bidang geometri [dalam aslinya tidak termasuk nama - tampaknya mengacu pada buku " Stochastic dan geometri integral "/ kira-kira. per.]. Domokosh adalah seorang matematikawan profesional, tetapi teks buku itu terlalu berat bahkan untuknya.
“Saya menemukan seseorang yang setuju untuk membaca bagian dari buku yang saya butuhkan dan menerjemahkannya kembali menjadi manusia,” kata Domokosh. Dia menemukan teorema di sana untuk sejumlah dimensi. Dia menegaskan bahwa kubus memang muncul dalam jawaban dalam tiga dimensi.
Sekarang Domokosh telah menemukan angka rata-rata yang diperoleh dengan memotong permukaan datar atau batu bata tiga dimensi. Pertanyaan yang lebih umum muncul. Domokosh menyadari bahwa ia juga dapat mengembangkan deskripsi matematis tidak hanya angka rata-rata, tetapi juga berpotensi: kumpulan angka apa, pada prinsipnya, dapat diperoleh dengan membagi suatu objek?
Ingatlah bahwa gambar yang diperoleh setelah hancurnya benda adalah mozaik. Mereka bisa disatukan tanpa tumpang tindih atau putus. Persegi panjang tempat kita memotong lembaran dapat dengan mudah dibuat sehingga memenuhi mosaik 2D. Segi enam juga mampu melakukan ini - dalam kasus ideal himpunan, yang oleh ahli matematika disebut " diagram Voronoi ". Tetapi bidang tersebut tidak dapat diaspal dengan pentagon atau oktagon.
Geometri Mars. Untuk menganalisis permukaan - dalam hal ini, permukaan mirip sarang lebah di kawah Mars - para peneliti menandai semua bagian atas dan samping. Mereka menghitung jumlah simpul untuk masing-masing sel dan jumlah sel yang sama untuk setiap simpul.
Untuk mengklasifikasikan mosaik dengan benar, Domokosh mulai mendeskripsikannya dengan dua angka. Yang pertama adalah jumlah rata-rata simpul per sel. Yang kedua adalah jumlah rata-rata sel berbeda yang memiliki satu titik sudut yang sama. Jadi, misalnya, dalam mozaik ubin heksagonal, setiap ubin memiliki enam simpul. Dan setiap simpul sama dengan tiga segi enam.
Dalam mozaik, hanya kombinasi tertentu dari kedua parameter ini yang bekerja, yang memberikan sejumlah kecil angka yang pada prinsipnya dapat hancur oleh sesuatu.
Sekali lagi, kisaran ini cukup mudah ditemukan dalam dua dimensi, tetapi jauh lebih sulit dalam tiga dimensi. Dalam ruang tiga dimensi, kubus dijumlahkan dengan sangat baik, tetapi ada jenis bentuk lain, termasuk yang membentuk versi tiga dimensi dari diagram Voronoi. Agar tidak memperumit masalah, Domokosh membatasi dirinya pada mosaik sel cembung biasa dengan simpul yang sama. Akibatnya, dia dan ahli matematika Zsolt Langi mengajukan hipotesis baru dengan membuat sketsa kurva yang cocok dengan semua kemungkinan mosaik tiga dimensi. Mereka menerbitkan karya tersebut di majalah Matematika Eksperimental, "dan kemudian saya mengirimkan semuanya kepada Rolf Schneider, dewa kami," kata Domokos.
Ruang kubus. Dalam tiga dimensi, kebanyakan batu dipecah menjadi kubus dengan delapan simpul per sel. Peta mosaik bentuk cembung yang dapat diterima dengan sel beraturan yang memiliki simpul yang sama masuk ke dalam strip sempit. Area bentuk kubus disorot dengan warna merah.
Vertikal: jumlah simpul per sel
Horizontal: jumlah sel umum di setiap simpul
"Saya bertanya apakah saya perlu menjelaskan bagaimana saya sampai pada hipotesis seperti itu, tetapi dia mengatakan bahwa dia tahu tentang itu," Domokosh tertawa. "Itu seratus kali lebih penting bagi saya daripada penerimaan artikel oleh majalah mana pun di dunia."
Lebih penting lagi, Domokosh sekarang memiliki platform. Matematika menyediakan cara untuk mengklasifikasikan semua cara untuk mempartisi permukaan dan balok. Dan geometri memprediksikan bahwa jika Anda mematahkan permukaan datar secara tidak sengaja, maka akan terbelah menjadi sesuatu seperti persegi panjang. Dalam tiga dimensi, pemisahan akan menghasilkan sesuatu seperti kubus.
Tetapi agar semua ini menjadi masalah bagi orang lain selain sekelompok kecil ahli matematika, Domokosh harus membuktikan bahwa dunia nyata juga mematuhi aturan ini.
Dari geometri hingga geologi
Pada saat Domokosh berada di Philadelphia pada tahun 2016, dia telah mencapai sesuatu dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan dunia nyata. Bersama rekan-rekan dari Universitas Teknologi dan Ekonomi Budapest, mereka mengumpulkan pecahan dolomit yang terlepas dari batuan Harmashhatar-hegy, yang terletak di Budapest. Selama beberapa hari, seorang pekerja laboratorium, tanpa prasangka apapun tentang kubus, dengan rajin menghitung jumlah permukaan dan simpul dari ratusan buah. Berapa skor rata-rata yang dia dapatkan? Enam wajah, delapan puncak. Domokos, bersama Janos Törok, seorang simulator komputer, dan Ferenc Kun, seorang ahli fisika fragmentasi, menemukan bahwa kubus berukuran sedang muncul di jenis batuan lain, seperti gipsum dan batu kapur.
Berbekal matematika dan bukti fisik awal, Domokosh mengajukan idenya ke Jerolmak yang kewalahan. "Dia menghipnotisku, dan yang lainnya lenyap untuk sementara," kata Jerolmak.
Aliansi mereka bukanlah hal baru. Bertahun-tahun yang lalu, Domokosh mendapatkan ketenaran dengan membuktikan keberadaan Gömböts.- sosok tiga dimensi lucu yang dengan keras kepala berubah menjadi posisi keseimbangan tertentu. Untuk mengetahui apakah Gömböts benar-benar ada, ia menarik Jerolmak, yang membantu menerapkan konsep ini untuk menjelaskan bentuk bulat kerikil di Bumi dan Mars [Vladimir Arnold meletakkan tangannya di sini, untuk pertama kalinya mengajukan pertanyaan tentang keberadaan tubuh / perkiraan tersebut. per.]. Sekarang Domokosh kembali meminta bantuan untuk mengubah beberapa konsep matematika teoretis menjadi batu yang berwujud.
Gömbötz adalah sosok homogen tiga dimensi cembung dengan tepat satu titik kesetimbangan stabil dan satu titik tidak stabil
Pasangan itu menyetujui rencana baru. Untuk membuktikan keberadaan kubus Platonis di alam, mereka perlu menunjukkan lebih dari sekadar kebetulan acak dari geometri dan segenggam kerikil. Mereka perlu melihat semua bebatuan, dan kemudian membuat sketsa teori yang meyakinkan tentang bagaimana matematika abstrak dapat menyusup ke dalam geofisika yang berantakan, dan kemudian ke dalam kenyataan yang bahkan lebih berantakan.
Pada awalnya "semuanya tampak berhasil," kata Jerolmak. Matematika Domokosh meramalkan bahwa pecahan batu rata-rata adalah kubus. Semakin banyak fragmen nyata tampaknya cocok dengan teori ini. Namun, Jerolmak segera menyadari bahwa untuk membuktikan teori tersebut, perlu ada pengecualian terhadap aturan.
Bagaimanapun, geometri yang sama memungkinkan untuk mendeskripsikan banyak pola mosaik lainnya, yang keberadaannya diperbolehkan dalam dua dan tiga dimensi. Djerolmak dapat langsung menyebutkan beberapa jenis batu asli, tidak mirip dengan persegi panjang dan kubus, yang masih dapat masuk ke dalam klasifikasi yang lebih luas ini.
Mungkin contoh-contoh ini akan sepenuhnya menyangkal teori dunia kubik. Atau, mungkin yang lebih menarik, mereka hanya akan muncul pada acara-acara khusus di mana ahli geologi dapat memperoleh pelajaran baru. "Saya bilang saya tahu itu tidak berhasil di mana-mana, dan saya perlu tahu mengapa," kata Jerolmak.
Selama beberapa tahun berikutnya, Jerolmak dan timnya, yang bekerja di kedua sisi Atlantik, mulai menandai dengan tepat di mana contoh nyata dari potongan batu jatuh di platform Domokosh. Memeriksa pada dasarnya permukaan dua dimensi - permafrost retak di Alaska, singkapan dolomit, retakan di blok granit - mereka menemukan poligon yang, rata-rata, memiliki empat sisi dan empat simpul, seperti kertas yang dipotong. Masing-masing fenomena geologi ini tampaknya memanifestasikan dirinya di tempat batuan retak begitu saja. Di area ini, prediksi Domokosh menjadi kenyataan.
Semesta ubin. Semua petak cembung yang mungkin menutupi bidang dapat diplotkan terhadap jumlah rata-rata simpul pada sebuah petak (sumbu y) dan jumlah rata-rata sel yang membagi satu simpul (sumbu x). Contoh dunia nyata:
6 - trotoar raksasa , 7 - permafrost di Alaska, 8 - lumpur kering, 9 - permukaan granit.
Tapi ada satu jenis permukaan datar yang sesuai dengan harapan Jerolmac: itu adalah pengecualian dengan sejarahnya sendiri. Permukaan datar yang tertutup kotoran mengering, retak, basah, kencang, lalu retak lagi. Sel-sel pada permukaan seperti itu rata-rata memiliki enam sisi dan enam simpul - diagram Voronoi kira-kira heksagonal. Penampilan serupa memiliki permukaan berbatu yang muncul setelah pemadatan lava, yang mengeras dari permukaan dan ke bawah.
Menariknya, sistem inilah yang terbentuk di bawah pengaruh gaya lain yang memerasnya, alih-alih mendorongnya masuk. Geometri mengungkapkan fitur geologi. Jerolmak dan Domokosh percaya bahwa diagram Voronoi semacam itu, meskipun cukup langka, juga dapat muncul dalam skala yang jauh lebih besar daripada yang mereka pelajari sebelumnya.
Diagram Voronoi membagi bidang menjadi beberapa bagian, yang masing-masing terdiri dari semua titik yang terdekat dengan titik awal.
Menghitung kerak
Selama pengembangan, tim bertemu di Budapest dan menghabiskan tiga hari panik dengan panik mencoba memasukkan lebih banyak contoh kehidupan nyata ke dalam model. Djerolmak segera memunculkan pola baru pada layar komputer: mosaik lempeng tektonik bumi. Lempeng-lempeng itu berada di litosfer, sebuah kulit hampir dua dimensi di permukaan planet. Polanya tampak familier, dan Jerolmak memanggil yang lain untuk mengaguminya. “Kami semua kaget,” katanya.
Sekilas, gambar-gambar bidang tersebut cenderung berbentuk diagram voronoi, bukan grid persegi. Dan kemudian tim membuat perhitungan. Dalam mozaik segi enam Voronoi yang ideal pada sebuah bidang, setiap sel harus memiliki enam simpul. Lempeng tektonik asli memiliki rata-rata 5,77 puncak.
Pada titik ini, ahli geofisika sudah bisa merayakan kemenangan itu. Tapi matematika tidak cocok. "Mood Doug sedang naik daun. Dia bekerja seolah-olah dia biasa, - kata Domokosh. "Dan keesokan harinya aku kesal karena memikirkan tentang perpisahan ini."
Di malam hari Domokosh pulang, masih dilahap oleh perbedaan ini. Dia menuliskan semua angka lagi. Dan tiba-tiba sebuah wahyu turun atas dirinya. Mosaik segi enam dapat mengaspal pesawat. Tapi Bumi tidak datar - setidaknya di luar beberapa sudut kontroversial di YouTube. Bayangkan sebuah bola sepak terdiri dari segi lima dan segi enam. Domokosh mengolah data dengan memperhitungkan permukaan bola dan menemukan bahwa pada bola tersebut, sel mosaik Voronoi seharusnya memiliki rata-rata 5,77 simpul.
Ide ini membantu para peneliti memecahkan salah satu pertanyaan penting dan terbuka dalam geofisika: bagaimana lempeng tektonik bumi terbentuk? Beberapa percaya bahwa pelat ini adalah produk sampingan dari arus konveksi yang bergerak jauh di dalam mantel. Lawan mereka percaya bahwa kerak bumi adalah sistem yang terpisah. Itu mengembang, menjadi rapuh dan pecah. Mencocokkan pelat dengan diagram Voronoi, yang menyerupai kerak lumpur, dapat mendukung teori kedua, kata Jerolmak. "Itu juga memberi saya rasa betapa pentingnya pekerjaan itu," kata Attal. "Fenomenal."
Momen krusial
Dalam tiga dimensi, ada beberapa pengecualian pada aturan kubus. Dan mereka juga bisa dijelaskan dengan mensimulasikan kekuatan yang tidak biasa yang mendorong keluar. Satu formasi non-kubik yang jelas berada di pantai Irlandia Utara, di mana gelombang menghantam puluhan ribu kolom basal. Dalam bahasa Irlandia disebut Clochán na bhFomhórach , jalan batu untuk makhluk gaib. Dalam bahasa Inggris disebut "the bridge of the giants ".
Kolom ini dan formasi vulkanik serupa lainnya harus berbentuk heksagonal. Namun, dilihat dari simulasi Tyrok, mosaik yang mirip dengan perkerasan ini hanyalah struktur tiga dimensi yang tumbuh dari dasar dua dimensi diagram Voronoi setelah batuan vulkanik mendingin.
Jembatan Raksasa di Irlandia Utara
Tim berpendapat bahwa jika Anda mengambil gambaran besar, sebagian besar mosaik dari batu retak dapat diklasifikasikan menggunakan persegi panjang Platonis, diagram Voronoi dua dimensi, dan semuanya - kubus Platonis dalam tiga dimensi. Masing-masing pola dapat menceritakan kisah geologisnya sendiri. Dan, ya, mengingat beberapa keanehan, kita dapat mengatakan bahwa dunia terbuat dari kubus.
"Mereka telah memvalidasi model mereka terhadap kenyataan," kata Martha-Carey Epps , seorang spesialis sains di University of North Carolina. "Skeptisisme awal saya telah memudar."
"Matematika memberi tahu kita bahwa jika kita menghancurkan batu, apa pun yang kita inginkan, secara tidak sengaja atau sengaja, kita masih memiliki serangkaian pilihan terbatas," kata Furbish. "Bukankah itu pintar?"
Mungkin Anda dapat mengambil, misalnya, sebuah tempat nyata yang terdiri dari batuan yang retak, menghitung simpul dan permukaan, dan kemudian menarik kesimpulan tentang proses geologi yang terjadi di sana.
“Di beberapa tempat, kami memiliki data yang memungkinkan kami untuk melihat pertanyaan ini dari sudut ini,” kata Roman Dibayas , ahli geomorfologi di Pennsylvania State University. "Akan sangat keren jika kita bisa menarik kesimpulan dari hal-hal yang tidak jelas, seperti trotoar raksasa - hanya memukul batu dengan palu dan melihat seperti apa pecahannya."
Jerolmak, yang pada awalnya percaya bahwa hubungan dengan benda padat Platonis bisa jadi tidak disengaja, sekarang menerima hipotesis ini. Bagaimanapun, pada akhirnya, filsuf Yunani percaya bahwa bentuk geometris yang benar diperlukan untuk memahami alam semesta, meskipun mereka sendiri tidak terlihat oleh mata, dan hanya muncul dalam bentuk bayangan yang terdistorsi.
"Ini benar-benar contoh paling jelas yang dapat Anda pikirkan. Rata-rata statistik dari semua pengamatan ini adalah kubus, kata Jerolmak. "Tapi kubus seperti itu tidak dapat ditemukan."