Hukum jumlah besar dan apa yang tidak

Banyak yang telah ditulis tentang hukum bilangan besar (zbch) (misalnya, dalam bahasa Inggris, di sini dan di sini , juga [1]). Dalam teks ini saya akan mencoba untuk berbicara tentang apa yang bukan hukum bilangan besar - tentang persepsi yang salah dari hukum ini dan potensi jebakan yang tersembunyi dalam formulasi matematika.



Mari kita mulai dengan apa itu hukum angka besar. Secara informal, ini adalah teorema matematika bahwa "probabilitas deviasi mean sampel dari ekspektasi matematika adalah kecil" dan bahwa "probabilitas ini cenderung nol seiring pertumbuhan sampel." Cukup informalteorema menyatakan bahwa dengan kita dapat cukup yakin bahwa mean sampel kita cukup dekat dengan mean "sebenarnya" dan dengan demikian menggambarkannya dengan baik. Tentu saja, kehadiran statistik tradisional "bagasi" diasumsikan - pengamatan kami dari sampel harus menggambarkan fenomena yang sama, mereka harus independen, dan pemikiran bahwa ada beberapa distribusi "nyata" dengan arti "nyata" seharusnya tidak menyebabkan kita keraguan yang signifikan.



Ketika kita merumuskan hukum, kita mengatakan "mean sampel," dan apapun yang dapat ditulis secara matematis sebagai rata-rata berada di bawah hukum. Misalnya, bagian peristiwa dalam massa total dapat dicatat sebagai rata-rata - kita hanya perlu mencatat keberadaan peristiwa sebagai "1" dan ketidakhadiran sebagai "0". Akibatnya, rata-rata akan sama dengan frekuensi dan frekuensi harus mendekati rata-rata teoritis. Inilah mengapa kami mengharapkan persentase kepala mendekati ½ saat membalik koin yang sempurna.



Pertimbangkan sekarang jebakan dan kesalahpahaman tentang hukum ini.



Pertama, ZBCH tidak selalu benar. Ini hanyalah teorema matematika dengan "masukan" - asumsi. Jika asumsinya salah, maka hukum tidak wajib dilaksanakan. Misalnya, hal ini terjadi jika observasi bergantung, atau jika tidak ada kepastian bahwa mean "nyata" ada dan tentu saja, atau jika fenomena yang diteliti berubah seiring waktu dan kita tidak dapat mengatakan bahwa kita mengamati nilai yang sama. Sebenarnya, sampai batas tertentu, ZBC juga berlaku dalam kasus ini, misalnya, untuk pengamatan berkorelasi lemah atau bahkan dalam kasus ketika nilai yang diamati berubah seiring waktu. Namun, untuk menerapkan ini dengan benar ke realitas langsung, diperlukan ahli matematika spesialis yang terlatih.



Kedua, tampaknya benar bahwa ZBR mengklaim "mean sampel mendekati mean sebenarnya." Namun, pernyataan seperti itu tetap tidak lengkap: sangat penting untuk menambahkan “dengan tingkat kemungkinan yang tinggi; dan probabilitas ini selalu kurang dari 100%. "



Ketiga, saya ingin merumuskan ZBP sebagai "mean sampel menyatu dengan mean sebenarnya dengan pertumbuhan sampel tidak terbatas". Namun, ini tidak benar karena mean sampel tidak menyatu sama sekali, karena acak dan tetap demikian untuk ukuran sampel apa pun. Misalnya, bahkan jika Anda membalik koin simetris satu juta kali, tetap saja ada kemungkinan proporsi kepala akan jauh dari ½ atau bahkan nol. Dalam arti tertentu, selalu ada peluang untuk mendapatkan sesuatu yang tidak biasa. Kita harus mengakui, bagaimanapun, bahwa intuisi kita masih memberi tahu kita bahwa ZBP harus mendeskripsikan semacam kesamaan, dan ini sebenarnya masalahnya. Hanya itu bukan mean yang "konvergen", tetapi "probabilitas deviasi mean sampel dari nilai sebenarnya," dan konvergen ke nol. Karena ide ini secara intuitif sangat cocok ("kemungkinan melihat sesuatu yang tidak biasa cenderung nol"),ahli matematika telah menemukan untuk ini jenis konvergensi khusus - "konvergensi dalam probabilitas".



Keempat, ZBH tidak mengatakan apa-apa tentang kapan mean sampel dapat dianggap cukup dekat dengan teori. Hukum bilangan besar hanya mendalilkan keberadaan fenomena tertentu; ia tidak mengatakan apa-apa tentang kapan ia dapat digunakan. Ternyata hukum bilangan besar tidak menjawab pertanyaan kunci dari sudut pandang praktik - "dapatkah saya menggunakan ZBN untuk sampel saya yang berukuran n?" Teorema lain memberikan jawaban atas pertanyaan ini, misalnya Teorema Batas Pusat. Ini memberi gambaran tentang sejauh mana mean sampel dapat menyimpang dari nilai sebenarnya.



Sebagai kesimpulan, peran sentral ZBP dalam statistik dan teori probabilitas harus diperhatikan. Sejarah hukum ini dimulai ketika para ilmuwan memperhatikan bahwa frekuensi beberapa fenomena yang berulang menjadi stabil dan berhenti berubah secara signifikan, tunduk pada pengulangan pengalaman atau pengamatan yang berulang. Secara mengejutkan, "stabilisasi frekuensi" ini diamati untuk fenomena yang sama sekali tidak terkait - dari lemparan dadu hingga hasil pertanian, yang menunjukkan kemungkinan adanya "hukum alam". Menariknya, hukum alam ini ternyata merupakan bagian dari matematika, dan bukan fisika, kimia atau biologi, seperti yang biasanya terjadi pada hukum alam.



[1] Menggambarkan Hukum Angka Besar (dan Interval Keyakinan) Jeffrey D Blume & Richard M Royall