Matematikawan telah lama mencoba membiasakan diri dengan fakta bahwa beberapa masalah, pada prinsipnya, tidak dapat diselesaikan.
Kami ingin mengatakan bahwa segalanya mungkin. Dalam buku Jaster Norton "Cute and the Magic Booth", raja menolak untuk memberi tahu Milo bahwa tujuannya tidak dapat dicapai, karena "banyak hal menjadi mungkin jika Anda tidak tahu bahwa itu tidak mungkin" [ meskipun ini adalah kata-kata dari karakter lain dalam buku / kira-kira. terjemahan. ]. Namun di dunia nyata, beberapa hal benar-benar mustahil, dan kita bisa membuktikannya dengan matematika.
Orang menggunakan istilah "tidak mungkin" dengan berbagai cara. Dia hanya bisa menggambarkan hal-hal yang tidak biasa, seperti menemukan dua tumpukan kartu yang dikocok identik. Ini dapat menggambarkan tugas-tugas yang hampir tidak mungkin karena kurangnya waktu, ruang, atau sumber daya, seperti menulis ulang seluruh Perpustakaan Kongres dengan tangan. Perangkat seperti mesin gerak abadi secara fisik tidak mungkin, karena keberadaannya akan bertentangan dengan pemahaman kita tentang fisika.
Ketidakmungkinan matematika berbeda. Kami mulai dengan asumsi yang tidak ambigu, dan menggunakan penalaran matematika dan logika, kami menyimpulkan bahwa beberapa hasil tidak mungkin. Tidak ada keberuntungan, ketekunan, waktu, atau keterampilan yang akan membuat tugas itu bisa dilaksanakan. Sejarah matematika penuh dengan bukti ketidakmungkinan. Banyak dari ini dianggap sebagai hasil matematika yang paling luar biasa. Tapi tidak selalu demikian.
Hukuman untuk, mungkin bukti ketidakmungkinan pertama, sangat ketat. Para sejarawan percaya bahwa pada abad ke-5 SM. Hippasus dari Metapont, seorang pengikut Pythagoras, menemukan bahwa tidak mungkin menemukan ruas garis yang dapat mengukur panjang sisi dan panjang diagonal segi lima biasa. Sekarang kita katakan bahwa panjang diagonal segi lima beraturan dengan panjang sisi 1 adalah rasio emas, ϕ = 1/2 (1 + √5) - adalah bilangan irasional. Penemuan Hippasus merupakan tantangan bagi kredo Pythagoras, "semuanya adalah angka", sehingga legenda mengatakan bahwa Hippasus tenggelam di laut atau diusir dari jajaran Pythagoras.
Lebih dari seabad kemudian, Euclid mengangkat garis dan lingkaran sebagai kurva dasar geometri. Selanjutnya, banyak generasi geometer menggambar segala macam hal - membagi sudut, menggambar tegak lurus, dan seterusnya - hanya dengan bantuan kompas dan penggaris. Namun, struktur tertentu, yang tampak sederhana, geometer Yunani yang membingungkan, memperoleh status mitos sebagai hasilnya, dan membuat jengkel ahli matematika selama lebih dari 2000 tahun. Ini adalah soal membagi sudut sembarang menjadi tiga bagian, membentuk sisi kubus, yang volumenya dua kali volume yang diberikan, menyusun semua poligon beraturan, dan juga menyusun bujur sangkar dengan luas yang sama dengan luas lingkaran tertentu.
Meskipun masalah-masalah ini bersifat geometris, bukti bahwa mereka tidak dapat diselesaikan tidak. Matematika baru diperlukan untuk menunjukkan ketidakmungkinan memecahkannya.
Pada abad ke-17, Rene Descartes membuat penemuan mendasar: jika kita membatasi diri hanya pada kompas dan penggaris, kita tidak dapat menggambar segmen dengan panjang berapa pun. Jika kita mulai dengan garis dengan panjang 1, kita hanya dapat membuat garis yang panjangnya dapat diekspresikan menggunakan bilangan bulat, penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan akar kuadrat (seperti rasio emas).
Oleh karena itu, salah satu strategi untuk menemukan bukti ketidakmungkinan memecahkan masalah geometris - yaitu, bahwa objek tertentu tidak dapat dibangun - akan menunjukkan bahwa panjang segmen tertentu dari gambar akhir tidak dapat diekspresikan dengan cara ini. Tetapi untuk menunjukkan ini dengan teliti, diperlukan aljabar yang baru muncul.
Dua abad kemudian, rekan senegaranya Descartes, Pierre Laurent Vanzel , menggunakan polinomial (jumlah koefisien dan variabel yang dipangkatkan) dan akarnya (variabel yang membuat polinomial sama dengan nol) untuk mengatasi masalah klasik ini. Misalnya, dalam masalah penggandaan kubus, sisi kubus dengan volume dua kali lipat dari kubus satuan harus sama dengan... Ini adalah akar dari polinomial x 3 -2 karena...
Pada tahun 1837 Wanzel membuktikan bahwa agar suatu segmen dapat dibangun menggunakan kompas dan penggaris, panjangnya harus merupakan akar dari polinomial yang tidak dapat difaktorkan, dan yang kekuatannya (pangkat tertinggi variabel) adalah pangkat dua. Misalnya, rasio emas adalah akar dari polinomial derajat kedua x 2 - x - 1. Tetapi x 3 -2 adalah polinomial derajat ketiga, jadikamu tidak bisa membangun. Jadi Wanzel menyimpulkan bahwa menggandakan kubus itu mustahil.
Dengan cara yang sama, dia membuktikan bahwa tidak mungkin menggunakan alat klasik untuk membagi tiga sudut atau membuat poligon beraturan tertentu - misalnya, poligon bersisi tujuh. Menariknya, ketiga bukti kemustahilan itu diposting di halaman yang sama. Karena Isaac Newton dan Albert Einstein memiliki annus mirabilis (tahun keajaiban), situasi ini dapat disebut pagina mirabilis - halaman keajaiban.
Membuktikan ketidakmungkinan masalah yang tersisa, mengkuadratkan lingkaran, membutuhkan sesuatu yang baru. Pada tahun 1882 Ferdinand von Lindemannmembuktikan poin kuncinya - bahwa bilangan π tidak dapat dibangun - dengan membuktikan transendensinya, yaitu, bahwa ia bukan akar dari polinomial mana pun.
Masalah klasik ini dapat dikaitkan dengan reputasi buruk dan dianggap sebagai sirene yang memikat ahli matematika untuk menabrak batu tajam kemustahilan. Tapi saya pikir itu adalah renungan yang telah menginspirasi generasi pemikir kreatif.
Hal yang sama berlaku untuk tugas baru yang tidak mungkin yang timbul dari tindakan sederhana seperti menyeberangi jembatan. Bayangkan Anda tinggal di Pittsburgh, "kota jembatan", seperti banyak siswa saya. Pengendara sepeda petualang mana pun mungkin bertanya-tanya apakah memulai perjalanan dari rumah dapat melintasi masing-masing dari 22 jembatan yang melintasi sungai utama Pittsburgh tepat satu kali dan kembali ke rumah.
Pada 1735, walikota Prusia menetapkan tugas serupa untuk Leonard Euler, hanya untuk Königsberg (sekarang Kaliningrad). Tujuh jembatan kota ini menghubungkan tiga tepi sungai dan pulau. Pada awalnya, Euler menolak masalah ini sebagai bukan masalah matematika: "Solusi semacam ini tidak ada hubungannya dengan matematika, dan saya tidak mengerti mengapa Anda mengharapkan seorang ahli matematika untuk memberikannya kepada Anda dan bukan orang lain."
Namun, segera Euler membuktikan ketidakmungkinan memecahkan masalah ini, dan dalam prosesnya menciptakan bidang baru matematika, yang dia sebut geometri pengaturan - yang sekarang kita sebut topologi. Dia menyadari bahwa detail spesifik - lokasi tepat jembatan, bentuk bidang tanah, dll. - tidak penting. Hanya koneksi mereka yang penting. Belakangan, ahli matematika menyempurnakan formulasi Euler menggunakan apa yang kita sebut grafik sekarang. Ide konektivitas adalah inti dari pembelajaran tentang media sosial, internet, epidemiologi, linguistik, perencanaan rute, dan banyak lagi.
Jembatan Königsberg: Leonard Euler membuktikan bahwa tidak mungkin membangun rute di sepanjang Königsberg yang akan melintasi semua jembatan kota hanya sekali. Dia melakukan ini dengan menyingkirkan detail yang tidak perlu, dan mereduksi masalah menjadi elemen yang paling penting, yang kemudian mulai dirancang menggunakan struktur yang lebih abstrak - grafik.
Bukti Euler ternyata sangat sederhana. Dia beralasan bahwa setiap kali kita masuk dan kemudian meninggalkan sebidang tanah tertentu, kita harus menghilangkan dua jembatan. Oleh karena itu, jembatan dengan jumlah genap harus dihubungkan ke setiap bagian tanah. Tetapi karena jumlah jembatan yang ganjil mengarah ke setiap bagian Königsberg, tidak mungkin untuk membangun rute seperti itu. Demikian pula, tiga jembatan menuju Pulau Gers di Sungai Allegheny di Pittsburgh membuat tidak mungkin untuk membangun rute sepeda yang diinginkan.
Sebagaimana diperlihatkan oleh masalah ini, kemustahilan tidak terbatas pada matematika abstrak. Mereka dapat memiliki konsekuensi dunia nyata - terkadang bahkan konsekuensi politik.
Baru-baru ini, ahli matematika telah beralih ke konsep gerrymendering . Di Amerika Serikat, setelah setiap sensus, negara bagian harus mengulang daerah pemilihannya. Tetapi terkadang partai yang berkuasa menulis ulang batasan mereka dengan cara yang konyol untuk memaksimalkan kekuatan politik mereka.
Banyak negara bagian memiliki persyaratan untuk distrik "padat" yang tidak memiliki definisi matematika yang ketat. Pada tahun 1991 Daniel Paulsby dan Robert Popper mengusulkan 4πA / P 2sebagai cara untuk mengukur kepadatan daerah A dan keliling P. Nilai-nilai ini berkisar dari 1 untuk paroki bundar hingga hampir nol untuk kabupaten yang cacat dengan keliling yang panjang.
Sementara itu, Nicholas Stephanopoulos dan Eric McGee memperkenalkan “kesenjangan kinerja” pada tahun 2014 sebagai ukuran integritas politik dari rencana perubahan distrik. Dua strategi gerrymandering yang berbeda adalah untuk oposisi mendapatkan kurang dari 50% suara, atau sekitar 100%. Masing-masing taktik ini membuat oposisi kehilangan suara dengan kehilangan kandidat yang tepat atau menyia-nyiakan suara pada mereka yang tidak. Kesenjangan efisiensi menggambarkan jumlah relatif suara yang hilang.
Kedua ukuran ini berguna untuk mengenali gerrymandering. Namun pada 2018 Boris Alekseev dan Dustin Mixonmembuktikan bahwa "terkadang celah efisiensi yang kecil dapat dicapai dengan daerah yang berbentuk aneh." Artinya, secara matematis tidak mungkin untuk selalu menggambar daerah sedemikian rupa sehingga memenuhi persyaratan dan kejujuran Paulsby-Popper dalam hal kesenjangan efisiensi.
Namun, mendeteksi dan mencegah teknik gerrymandering diam-diam adalah bidang yang berkembang pesat yang menarik banyak upaya penelitian berbakat. Seperti masalah jaman dahulu atau masalah jembatan Königsberg, saya yakin masalah gerrymandering akan menginspirasi kreativitas dan berkontribusi pada perkembangan matematika.