Minggu ini (16-26 September) di St. Petersburg (secara virtual) memulai Olimpiade Matematika Internasional ke-61 , 622 anak sekolah dari 114 negara ambil bagian di dalamnya.
Olimpiade pertama semacam itu diadakan pada tahun 1959 di Rumania, dan kemudian hanya perwakilan dari tujuh negara yang ambil bagian di dalamnya.
Rusia diwakili oleh tim yang terdiri dari enam siswa sekolah menengah.
Anak sekolah diberi waktu 2 hari 4,5 jam untuk menyelesaikan 6 soal. Sementara hasil sedang dievaluasi, saya sarankan Anda mencoba menyelesaikan masalah dan berdiskusi di komentar.
Hasil tahun lalu.
Masalah 1
Di dalam ABCD segiempat cembung, ada titik P sehingga persamaan
equalPAD: ∠PBA: ∠DPA = 1: 2: 3 = ∠CBP: ∠BAP: ∠BPC tahan.
Buktikan bahwa tiga garis lurus berikut berpotongan pada satu titik: bisectors dalam dari sudut ∠ADP dan ∠PCB dan titik tengah tegak lurus dengan segmen AB.
Masalah 2
Diketahui bilangan real a, b, c, d sehingga a> b> c> d> 0 dan a + b + c + d = 1.
Buktikan bahwa
(a + 2b + 3c + 4d) a a b b c c d d <1.
Masalah 3
Ada 4n kerikil dengan massa 1, 2, 3, ..., 4n . Masing-masing kerikil diwarnai salah satu dari n warna, dan ada 4 kerikil di setiap warna.
Buktikan bahwa kerikil dapat dibagi menjadi dua tumpukan dengan berat total yang sama sehingga setiap tumpukan berisi dua kerikil dengan warna masing-masing.
Masalah 4
Sebuah bilangan bulat n> 1 diberikan . Ada n 2 stasiun digerakkan di lereng gunung pada ketinggian yang berbeda. Masing-masing dari dua perusahaan yang digerakkan oleh kabel A dan B memiliki lift k . Setiap lift melakukan transfer langsung reguler dari salah satu stasiun ke stasiun lain yang lebih tinggi. K transfer perusahaan A dimulai di k stasiun berbeda; mereka juga berakhir di k stasiun berbeda; dengan transfer yang dimulai di atas dan berakhir di atas. Kondisi yang sama terpenuhi untuk perusahaan B. Kami akan mengatakan bahwa dua stasiun terhubungperusahaan yang digerakkan oleh kabel, jika Anda dapat pergi dari stasiun bawah ke atas menggunakan satu atau lebih transfer perusahaan ini (transfer lain antar stasiun dilarang). Temukan k terkecil yang diketahui ada dua stasiun yang dihubungkan oleh kedua perusahaan.
Masalah 5
Terdapat n> 1 kartu yang masing-masing berisi bilangan bulat positif.
Ternyata untuk dua kartu mana saja, rata-rata aritmatika dari angka-angka yang tertulis di atasnya sama dengan rata-rata geometris dari angka-angka yang tertulis pada kartu-kartu dari rangkaian tertentu yang terdiri dari satu atau lebih kartu. Untuk n manakah itu berarti semua angka yang tertulis di kartu sama?
Masalah 6
Buktikan bahwa terdapat konstanta positif c yang dipegang pernyataan berikut:
Misalkan S adalah himpunan n> 1 titik bidang di mana jarak antara dua titik paling sedikit 1. Kemudian ada garis ℓ yang memisahkan himpunan S sedemikian rupa sehingga jarak dari salah satu titik S ke ℓ setidaknya adalah cn −1/3 .
(Garis lurus ℓ memisahkan himpunan titik S jika memotong beberapa segmen yang ujungnya dimiliki S.)
Keterangan. Hasil yang lebih lemah dengan cn −1/3 diganti dengan cn −α dapat diperkirakan bergantung pada nilai konstanta α> 1/3 .