Selama ribuan tahun para ahli matematika telah tertarik dengan pertanyaan tentang keberadaan bilangan sempurna ganjil. Dalam proses mempelajarinya, mereka menyusun daftar batasan yang luar biasa untuk objek hipotetis ini. Tetapi ide-ide baru pada skor ini mungkin muncul karena mempelajari objek lain yang dekat dengannya.
Jika ada bilangan ganjil sempurna, mereka harus memenuhi daftar batasan yang sangat panjang.
Sebagai siswa sekolah menengah, Pace Nielsen menghadapi pertanyaan matematika di pertengahan 90-an yang masih ia perjuangkan hingga hari ini. Tetapi dia tidak kecewa: masalah yang membuatnya terpesona, hipotesis tentang bilangan sempurna ganjil, tetap terbuka selama lebih dari 2000 tahun, yang menjadikannya salah satu masalah tertua yang belum terpecahkan dalam matematika.
Bagian dari pesona berumur panjang itu berasal dari kesederhanaan kata-katanya. Sebuah bilangan disebut sempurna jika bilangan bulat positif, n, yang pembaginya berjumlah dua kali lipat, 2n. Contoh pertama dan paling sederhana adalah 6, yang pembagi 1, 2, 3, dan 6 dijumlahkan menjadi 12, atau 2 * 6. Kemudian muncul 28, dengan pembagi 1, 2, 4, 7, 14 dan 28, menghasilkan total 56. Contoh selanjutnya adalah 496 dan 8128.
Leonard Euler memformalkan definisi ini pada abad ke-18 dengan memperkenalkan fungsi sigma, yang merupakan penjumlahan dari pembagi sebuah angka. Jadi, untuk bilangan sempurna, σ (n) = 2n.
Leonard Euler merumuskan banyak aturan formal mengenai bekerja dengan bilangan sempurna. Namun
, Pythagoras mengetahui tentang bilangan sempurna sejak 500 SM, dan dua abad kemudian Euclid menurunkan rumus untuk mendapatkan bilangan sempurna genap. Dia menunjukkan bahwa jika p dan 2 p - 1 adalah bilangan prima (pembaginya hanya 1 dan bilangan ini sendiri), maka 2 p - 1 * (2 p - 1) akan menjadi bilangan sempurna. Misalnya, jika p = 2, maka rumusnya menghasilkan 2 1 * (2 2 - 1), atau 6. Jika p = 3, maka rumusnya menghasilkan 2 2 * (23 - 1), atau 28 - dua bilangan sempurna pertama. 2000 tahun kemudian, Euler membuktikan bahwa rumus ini memberikan semua bilangan sempurna genap, meskipun masih belum diketahui apakah kumpulan bilangan sempurna itu terbatas atau tak terhingga.
Nielsen, sekarang seorang profesor di Universitas Brigham Young, terbawa oleh pertanyaan terkait: Apakah ada bilangan ganjil sempurna? Matematikawan Yunani Nicomachus dari Gerasa sekitar tahun 100 M. menyatakan bahwa semua bilangan sempurna harus genap, tetapi tidak ada yang membuktikan pernyataan ini.
Seperti banyak rekannya dari abad ke-21, Nielsen percaya bahwa tidak ada banyak angka sempurna. Dan, bersama mereka, dia yakin bahwa bukti hipotesis ini tidak akan segera didapat. Namun, pada bulan Juni dia menemukanpendekatan baru untuk tugas ini, mungkin mampu melangkah lebih jauh. Dan ini dikaitkan dengan objek yang paling dekat dengan bilangan sempurna ganjil dari semua yang ditemukan sejauh ini.
Menyusut web
Nielsen pertama kali belajar tentang bilangan sempurna dalam kompetisi matematika di sekolah. Dia mempelajari lebih dalam kesusastraan, dan menemukan karya Karl Pomeranz tahun 1974 , seorang matematikawan yang sekarang bekerja di Dartmouth College. Ia membuktikan bahwa bilangan sempurna ganjil pasti memiliki setidaknya tujuh faktor prima yang berbeda.
“Saya dalam kenaifan saya memutuskan bahwa saya dapat melakukan sesuatu di bidang ini, jika kemajuan memungkinkan sama sekali,” kata Nielsen. "Itu mengilhami saya untuk mempelajari teori bilangan di perguruan tinggi dan mencoba membuat kemajuan." Karya pertamanya tentang bilangan sempurna ganjil, yang diterbitkan pada tahun 2003, menempatkan batasan tambahan pada bilangan hipotetis ini. Dia menunjukkanbahwa tidak hanya bilangan ganjil sempurna dengan k pembagi prima berbeda yang berhingga, seperti yang dibuktikan Leonard Dixon pada tahun 1913, tetapi juga bahwa ukuran bilangan ini tidak boleh melebihi 2 4 k .
Dan ini bukan yang pertama atau batasan terakhir yang diberlakukan pada hipotesis bilangan sempurna ganjil. Misalnya, pada tahun 1888, James Sylvester membuktikan bahwa bilangan sempurna ganjil tidak dapat habis dibagi 105. Pada tahun 1960, Carl K. Norton membuktikan bahwa jika bilangan sempurna ganjil tidak dapat habis dibagi 3, 5, atau 7, bilangan tersebut harus memiliki setidaknya 27 faktor prima. Paul Jenkins pada tahun 2003 membuktikannyaBahwa pembagi prima terbesar dari bilangan sempurna ganjil harus lebih besar dari 10.000.000. Pascal ochem dan Mihaol Rao kemudian menemukan bahwa bilangan sempurna ganjil harus lebih besar dari 10 1500 , dan kemudian mendorong batasnya menjadi 10 2000 . Nielsen menunjukkan pada tahun 2015 bahwa bilangan sempurna ganjil harus memiliki setidaknya 10 pembagi prima yang berbeda.
Pace Nielsen, matematikawan di Universitas Brigham Young
Bahkan di abad ke-19, jumlah pembatasan sedemikian rupa sehingga Sylvester menyimpulkan bahwa "munculnya bilangan sempurna ganjil - semacam pelarian dari jaringan kompleks kondisi yang mengelilinginya di semua sisi - hampir merupakan keajaiban." Setelah lebih dari seratus tahun perkembangan peristiwa seperti itu, keberadaan jumlah tersebut menimbulkan lebih banyak keraguan.
“Membuktikan keberadaan sesuatu itu mudah jika Anda hanya dapat menemukan satu contoh,” kata Jon Voight , seorang profesor matematika di Dartmouth. "Tapi membuktikan bahwa sesuatu tidak ada bisa sangat sulit."
Pendekatan utama hingga saat ini adalah membandingkan semua kondisi yang membatasi bilangan ganjil sempurna untuk mengetahui apakah ada pasangan yang tidak sesuai - yaitu, tidak ada bilangan yang dapat memenuhi kedua batasan sekaligus. “Kondisi tambal sulam yang kami peroleh hingga saat ini membuat angka ganjil sempurna sangat tidak mungkin,” kata Voight, menggemakan Sylvester. "Dan Pace telah menambahkan item baru ke daftar ini selama bertahun-tahun."
Sayangnya, belum ditemukan properti yang tidak kompatibel. Oleh karena itu, selain batasan tambahan pada bilangan sempurna ganjil, matematikawan mungkin memerlukan strategi baru.
Untuk tujuan ini, Nielsen sudah mempertimbangkan rencana serangan baru berdasarkan taktik umum matematikawan: mempelajari banyak angka melalui studi kerabat dekat mereka. Dengan tidak adanya bilangan sempurna ganjil yang cocok untuk studi langsung, ia dan tim mempelajari "imitasi" bilangan sempurna ganjil, yang sangat mirip dengan bilangan real, tetapi memiliki beberapa perbedaan yang menarik.
Memahami bilangan sempurna
- . σ(n) = 2n, .
:
σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42; 2 * 20 ≠ 42, 20 – .
σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56; 2 * 28 = 56, 28 – .
1. σ(a × b) = σ(a) × σ (b) , , a b – .
2. σ(pa) = 1 + p + p2 + … + pa p a.
:
σ(20) = σ(22 × 5) = σ(22) × σ(5) [ ] = (1 + 2 + 22)(1+5) [ ] = 42
σ (28) = σ (2 2 × 7) = σ (2 2 ) × σ (7) [berdasarkan aturan pertama] = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 7) [berdasarkan aturan kedua] = 56
Merindukan menggoda baru
Peniruan pertama dari bilangan sempurna ganjil ditemukan pada tahun 1638 oleh Rene Descartes - dan dia adalah salah satu ahli matematika terkemuka yang mempertimbangkan kemungkinan adanya bilangan sempurna ganjil. “Saya yakin Descartes sedang mencoba menemukan bilangan ganjil sempurna, dan perhitungannya membawanya ke peniruan pertama,” kata William Banks , ahli teori bilangan di University of Missouri. Rupanya Descartes berharap bilangan yang diciptakannya bisa diubah untuk mendapatkan bilangan ganjil sempurna yang nyata.
Tetapi sebelum menyelami peniruan Cartesian, ada baiknya untuk memahami sedikit tentang bagaimana ahli matematika mendeskripsikan bilangan sempurna. Teorema waktu Euclid menyatakan bahwa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari 1 dapat diekspresikan sebagai hasil kali bilangan prima yang dipangkatkan. Misalnya, 1260 dapat difaktorkan seperti ini: 1260 = 2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 , dan tidak mencantumkan semua 36 faktor secara terpisah.
Begitu sebuah bilangan mengambil bentuk ini, akan jauh lebih mudah untuk menghitung fungsi sigma Euler yang menjumlahkan pembaginya, berkat dua rumus yang juga dibuktikan oleh Euler. Pertama, dia mendemonstrasikan bahwa σ (a × b) = σ (a) × σ (b) jika dan hanya jika a dan b adalah koprima - yaitu, mereka tidak memiliki pembagi prima yang sama. Misalnya, angka 14 (2 × 7) dan 15 (3 × 5) relatif prima. Kedua, dia menunjukkan bahwa untuk setiap bilangan prima p dalam derajat bilangan bulat positif a, σ (p a ) = 1 + p + p 2 +… + p a .
Kembali ke contoh sebelumnya, σ (1260) = σ (2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 ) = σ (2 2 ) × σ (3 2) × σ (5 1 ) × σ (7 1 ) = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 3 + 3 2 ) (1 + 5) (1 + 7) = 4368. Perhatikan bahwa dalam case σ (n) tidak sama dengan 2n, yang berarti 1260 bukanlah bilangan sempurna.
René Descartes menemukan tiruan pertama dari bilangan sempurna
Sekarang kita dapat mengurai tiruan Kartesius - bilangan 198 585 576 189, atau 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22 021 1 . Mengulangi perhitungan di atas, kita menemukan bahwa σ (198 585 576 189) = σ (3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22,021 1 ) = (1 + 3 + 32 ) (1 + 7 + 7 2 ) (1 + 11 + 11 2 ) (1 + 13 + 13 2 ) (1 + 22.021 1 ) = 397 171 152378. Dan ini sama dengan dua kali lipat angka aslinya, yang artinya itu harus bilangan real sempurna - hanya bilangan 22.021 yang bukan bilangan prima.
Karena itu, jumlah Descartes ini adalah tiruan. Jika kita menganggap bahwa 22.021 adalah bilangan prima dan menerapkan aturan Euler ke fungsi sigma, bilangan Descartes berperilaku seperti bilangan sempurna. Namun, 22.021 sebenarnya adalah hasil perkalian dari 19 2 dan 61. Jika kita bisa menuliskan bilangan Descartes dengan benar sebagai 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 19 2 × 61 1, maka σ (n) tidak akan sama dengan 2n. Dengan melonggarkan beberapa aturan, kami mendapatkan angka yang tampaknya memenuhi persyaratan kami - inilah inti dari peniruan.
Butuh 361 tahun untuk menemukan bilangan imitasi kedua dari bilangan sempurna ganjil. Voight melakukan ini pada 1999, dan menerbitkan penemuan itu empat tahun kemudian. Mengapa lama sekali? “Menemukan bilangan imitasi itu seperti menemukan bilangan ganjil sempurna; keduanya sama-sama rumit secara aritmatika, ”kata Banks. Dan pencarian mereka bukanlah prioritas bagi ahli matematika. Namun, Voight terinspirasi oleh kutipan dari Richard Guy Unsolved Problems in Number Theory, di mana dia menulis tentang pencarian imitasi baru. Voight mencoba, dan akhirnya menemukan tiruan baru, 3 4 × 7 2 × 11 2 × 19 2× (−127) 1 , atau −22 017 975 903.
Tidak seperti contoh Descartes, di sini semua pembagi adalah bilangan prima, tetapi salah satunya negatif - oleh karena itu bilangan ini adalah tiruan, bukan bilangan benar ganjil sempurna.
Mensimulasikan angka ganjil sempurna
:
198 585 576 189, 32 × 72 × 112 × 132 × 22 0211.
-: σ(198 585 576 189) = σ(32 × 72 × 112 × 132 × 22,0211) = (1 + 3 + 32)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 13 + 132)(1 + 22,0211) = 397 171 152 378 = 2 × 198 585 576 189.
22 021 , 192 × 61. .
:
−22 017 975 903, 34 × 72 × 112 × 192 × (−127)1.
-: σ(−22 017 975 903) = σ(34 × 74 × 112 × 192 × (-127)1) = (1 + 3 + 32 + 33 + 34)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 19 + 192)(1 + (-127)1) = -44 035 951 806 = 2 × −22 017 975 903
-127 – , – .
Setelah Voight mengadakan seminar di Universitas Brigham Young pada bulan Desember 2016, dia membahas nomor ini dengan Nielsen, Jenkins, dan yang lainnya. Tak lama kemudian, tim universitas melakukan pencarian komputasi sistematis untuk imitasi lainnya. Mereka akan memilih basis dan eksponen terkecil, seperti 3 2 , dan kemudian komputer menyisir varian basis dan eksponen tambahan yang akan mensimulasikan angka sempurna. Nielsen memutuskan bahwa proyek ini hanya akan menjadi pengalaman penelitian yang merangsang bagi murid-muridnya, tetapi hasil analisisnya melebihi harapannya.
Memilah-milah kemungkinan
Setelah menjalankan 20 prosesor secara terus menerus selama tiga tahun, tim menemukan setiap kemungkinan tiruan dari angka sempurna yang dapat ditulis menggunakan enam atau kurang basis - total 21, termasuk contoh dari Descartes dan Voight - dan dua simulasi lagi dengan tujuh pembagi. Mencari simulasi dengan sejumlah besar pemisah di komputer tidak praktis dan memakan waktu. Namun, grup tersebut telah mengumpulkan cukup banyak contoh untuk menemukan properti imitasi yang sebelumnya tidak diketahui.
Kelompok tersebut menemukan bahwa untuk sejumlah basa k tertentu, terdapat sejumlah simulasi yang terbatas, yang bertepatan dengan hasil Dixon tahun 1913 untuk bilangan benar ganjil sempurna. “Namun, jika k menjadi tak terhingga, jumlah tiruannya pun menjadi tak terhingga,” kata Nielsen. Ini tidak terduga, tambahnya, mengingat bahwa memulai proyek ini, dia tidak yakin menemukan satu pun tiruan baru yang aneh, apalagi menunjukkan bahwa jumlahnya tidak terbatas.
Kejutan lain yang berasal dari hasil yang pertama kali dibuktikan oleh Euler: semua basis prima dari bilangan sempurna ganjil, kecuali satu, harus memiliki derajat genap. Seseorang harus memiliki derajat ganjil - ini disebut derajat Euler. Sebagian besar ahli matematika percaya bahwa derajat Euler untuk bilangan sempurna ganjil selalu 1, tetapi tim telah menunjukkan bahwa simulasi dapat memiliki ukuran sebesar yang mereka suka.
Tim menemukan beberapa temuan dengan melonggarkan persyaratan dalam definisi imitasi, karena tidak ada aturan matematika yang jelas untuk mendeskripsikannya - hanya saja mereka harus memenuhi persamaan σ (n) = 2n. Para peneliti mengakui keberadaan basa non-prima (seperti dalam contoh Descartes) dan basa negatif (seperti dalam contoh Voight). Namun, mereka melangkah lebih jauh dengan mengizinkan imitasi memiliki beberapa basis yang sama. Satu akar, misalnya, mungkin 7 2 , dan yang lainnya 7 3 , dan ditulis secara terpisah, dan bukan sebagai 7 5 . Atau mereka membiarkan alasannya berulang, seperti pada imitasi 3 2 × 7 2 × 7 2 × 13 1 × (−19) 2... Istilah 7 2 × 7 2 dapat ditulis sebagai 7 4 , tetapi kemudian simulasi akan gagal, karena perluasan tanda kurung dalam fungsi sigma yang dimodifikasi akan berbeda.
Mengingat perbedaan yang signifikan antara tiruan dan bilangan sempurna ganjil nyata, orang mungkin mengajukan pertanyaan: bagaimana yang pertama membantu dalam menemukan yang terakhir?
Jalan lurus?
Nielsen mengatakan imitasi adalah generalisasi dari bilangan ganjil sempurna. Bilangan sempurna ganjil adalah bagian dalam keluarga yang lebih besar, yang mencakup imitasi, jadi bilangan sempurna ganjil harus memiliki semua properti imitasi, serta tambahan, bahkan batasan yang lebih ketat (seperti, misalnya, syarat bahwa semua arde harus sederhana) ...
“Setiap perilaku dari himpunan yang lebih besar harus diikuti untuk himpunan yang lebih kecil,” kata Nielsen. "Jadi jika kami menemukan perilaku imitasi yang tidak berlaku untuk kelas yang lebih terbatas, kami dapat secara otomatis membuang kemungkinan bilangan ganjil sempurna." Jika, misalnya, dapat diperlihatkan bahwa semua simulasi dapat dibagi dengan 105 - yang tidak mungkin untuk bilangan ganjil sempurna, seperti yang ditunjukkan Sylvester pada tahun 1888 - maka soal akan terpecahkan.
Namun, sejauh ini mereka belum berhasil. "Kami telah menemukan fakta baru tentang imitasi, tetapi tidak satupun yang menyangkal adanya bilangan ganjil sempurna," kata Nielsen, "meski kemungkinan ini masih ada." Dengan menganalisis lebih lanjut imitasi yang saat ini diketahui, dan, mungkin, melengkapi daftar mereka di masa mendatang, Nielsen (dan kedua arah ini berkembang berkat dia) dan ahli matematika lainnya dapat menemukan properti baru dari imitasi.
Bank menganggap pendekatan ini bermanfaat. “Menjelajahi peniruan ganjil dapat membantu dalam memahami struktur bilangan sempurna ganjil, jika ada," katanya. "Dan jika tidak ada bilangan sempurna ganjil, mempelajari imitasi ganjil dapat membuktikan hal ini."
Pakar lain tentang bilangan sempurna ganjil tidak begitu optimis. Tim di Universitas Brigham Young “melakukan pekerjaan dengan baik,” kata Voight, “tetapi saya tidak yakin kita hampir menyerang masalah angka ganjil sempurna. Ini benar-benar tugas selama berabad-abad, dan kemungkinan besar akan tetap demikian. "
Paul Pollack , seorang matematikawan di Universitas Georgia, juga berhati-hati: “Akan keren jika kita dapat melihat daftar tiruan dan melihat beberapa propertinya, dan entah bagaimana membuktikan bahwa bilangan sempurna ganjil dengan sifat ini tidak ada. Itu akan menjadi mimpi, tapi tampaknya terlalu bagus untuk menjadi kenyataan. "
Nielsen setuju bahwa kecil kemungkinannya untuk berhasil, tetapi untuk memecahkan masalah kuno ini, ahli matematika harus mencoba segalanya. Selain itu, studi tentang imitasi baru saja dimulai. Kelompoknya telah mengambil beberapa langkah awal dan telah menemukan sifat tak terduga dari angka-angka ini. Oleh karena itu, ia optimis tentang kemungkinan menemukan "struktur tersembunyi" tambahan di dalam tiruan.
Nielsen telah mengidentifikasi satu taktik yang masuk akal berdasarkan fakta bahwa semua imitasi yang ditemukan hingga saat ini, selain dari contoh asli Descartes, memiliki setidaknya satu dasar negatif. Jika kita membuktikan bahwa semua imitasi lain pasti memiliki bilangan pokok negatif, maka ini membuktikan bahwa bilangan ganjil sempurna tidak ada, karena menurut definisi, bilangan pokoknya pasti sederhana dan positif.
“Ini sepertinya tugas yang lebih sulit,” kata Nielsen, karena menyentuh kategori angka yang lebih besar dan lebih umum. "Tapi terkadang, saat Anda mengubah masalah menjadi masalah yang tampaknya lebih sulit, Anda dapat melihat jalan ke solusinya."
Dalam teori bilangan, dibutuhkan kesabaran - terkadang pertanyaannya mudah diajukan tetapi sulit dijawab. “Anda harus memikirkan tugas itu, terkadang untuk waktu yang lama, dan memberi perhatian khusus padanya,” kata Nielsen. - Kami bergerak maju. Kami sedang menggali tambang. Kami berharap jika kami menggali cukup lama kami dapat menemukan berlian. "