🌥️ 🌙 🌋 Representasi geometris kelengkungan ruang dalam metrik Schwarzschild 💛 🧘🏾 🏎️

... atau dua tambah dua sama dengan empat.

Untuk memahami artikel tersebut, kursus matematika sekolah sudah cukup.

Bentuk faktor dalam metrik Schwarzschild telah lama menghantui saya dengan duplikatnya yang sangat indah, dan saya memutuskan untuk meluangkan waktu untuk menemukan cara mengubahnya. Metrik Schwarzschild itu sendiri diperoleh sebagai hasil penyelesaian relativitas umum untuk kasus vakum (tensor momentum-energi adalah nol):

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Ini menggambarkan kontinum ruang-waktu di sekitar objek masif kompak yang sewenang-wenang. Kompak, yang berarti bahwa penyimpangan bentuk tidak signifikan dalam kaitannya dengan massa. Sederhananya, bulat dan kencang. Biasanya lubang hitam digunakan di sini sebagai contoh. Untuk beberapa alasan, tidak ada yang memberi contoh objek non-kompak. Busa kedap udara di ruang terbuka dengan jarak tak terhingga dari benda masif, seperti benda tidak padat. Kuda kubus di kejauhan, dari mana Anda bisa melihat kesedihan di matanya juga.

Melalui volume 3-bola

Kami akan melakukan penggantian:

M = \frac{E}{c^{2}}

$M=\frac{E}{c^2}$

Maka metriknya akan menjadi seperti ini:

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Penggantian itu diperlukan hanya untuk menarik perhatian pada derajat keempat dari kecepatan cahaya, karena semua angka dalam rumus itu penting. Ini dibuktikan oleh seluruh sejarah fisika - setiap rumus yang diperoleh secara empiris dari waktu ke waktu menerima dasar teoretis, menjelaskan arti dari semua bentuk matematika yang dikandungnya.

Biasanya, dalam representasi metrik ini, bagian yang terkait dengan konstanta fisik dan massa benda yang menciptakan medan dinyatakan dalam radius Schwarzschild:

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$

karena metrik memiliki singularitas pada saat ini. Di sini, waktu benar-benar berhenti.

Seperti inilah tampilan keseluruhan metrik:

d s^{2} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Tetapi dalam kelanjutan penalaran tentang esensi fisik fenomena, dua ini:

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$

juga harus dipahami. Oleh karena itu, kami mewakilinya seperti ini:

u = \frac{G E}{c^{4}}

$u = \frac{GE}{c^4}$

Itu hanya setengah jari-jari gravitasi

r_{s}

$r_s$ , dan dimensinya sama. Kita mendapatkan:

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = 1 - 2 \frac{u}{r}

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r}$

Itu menyarankan dirinya sendiri:

= (1 - 2 \frac{u}{r} + \frac{u^{2}}{r^{2}}) - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(1 - \frac{u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(\frac{r - u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} =

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} =$

= \frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} (1)

$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$

Sudah lumayan. Ayo menggambar. Membayangkan

r = O B

$r = OB$ segmen berhingga,

u = O A

$u = OA$ - sebagian, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Itu jelas

(r - u) = A B

$(r-u) = AB$ .

gambar

Ngomong-ngomong, ini aneh

r_{s} = 2 u

$r_s = 2u$ maka itu intinya

A

$A$ berada di luar (di bawah) horizon peristiwa benda energi

E

$E$ . Sangat mudah untuk menemukannya, tetapi kami tidak bisa.

Sekarang kita akan menunjukkan relasi bentuk itu

(1)

$(1)$ akan terpenuhi untuk semua titik yang memiliki lokasi geometris tegak lurus

O B

$OB$ pada poinnya

A

$A$ :

\frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} = \frac{((r - u)^{2} + a^{2}) - (u^{2} + a^{2})}{r^{2}} = \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} (2)

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2)$

untuk apapun

b = C B

$b = CB$ dan

d = O C

$d = OC$ ...

Sederhananya, perbedaan kuadrat

(r - u)^{2} - u^{2}

$(r-u)^2 - u^2$ setara dengan perbedaan kuantitas yang diproyeksikan ke

O B

$OB$ adalah

A B

$AB$ dan

O A

$OA$ masing-masing, asalkan intinya

C

$C$ mereka memiliki kesamaan.

Selanjutnya, anggap saja

u = u (E)

$u = u(E)$ dan

(r - u)

$(r-u)$ sebaliknya, proyeksi

r = O B

$r = OB$ pada beberapa sumbu, yaitu jumlah Pythagoras dari dua besaran, dalam bentuk aslinya, tegak lurus satu sama lain. Menerjemahkan ini menjadi persyaratan, pertimbangkan kasusnya

∠ O C B = π / 2

$\angle{OCB} = \pi/2$ yang memang benar:

b^{2} = r^{2} - d^{2} \to (2) \to \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} = 1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} (3)

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$

Kami akan menyelesaikannya

(3)

$(3)$ mirip dengan iterasi awal:

1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} = (1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} + \frac{d^{4}}{r^{4}}) - \frac{d^{4}}{r^{4}} = \frac{(r^{2} - d^{2})^{2} - d^{4}}{r^{4}} =

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$

= \frac{b^{4} - d^{4}}{{\sqrt{b^{2} + d^{2}}}^{4}} = \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} (4)

$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$

Ini derajat keempat. Rumus volume bola 3:

V = \frac{π^{2} \cdot R^{4}}{2}

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$

Ini saya maksudkan jika Anda mengalikan dan membagi

(4)

$(4)$ di

π^{2} / 2

$\pi^2/2$ :

\frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{2}{π^{2}} \cdot \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{V_{b} - V_{d}}{V_{r}} (5)

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$

kemudian faktor dalam metrik Schwarzschild berubah menjadi perbedaan antara volume dua bola-3 yang dibangun di sekitar dua proyeksi radial suatu titik yang relatif terhadap pusat bidang, yang dikorelasikan dengan volume bola-3 yang dibentuk oleh jarak total antara titik dan pusat lapangan.

Mempertimbangkan fakta bahwa jari-jari total diberikan oleh proyeksi, seluruh konstruksi ini diatur dengan sangat ringkas oleh dua parameter, salah satunya terkait dengan energi, dan yang kedua tidak. Tepatnya ada dua koordinat.

kesimpulan

Konsekuensi yang luar biasa dari representasi tersebut adalah:

1. Dari bentuk pengganda terlihat bahwa perilaku foton membatasi zona terlihat dari ruang-waktu lima dimensi. Di luarnya, Anda dapat menyembunyikan sesuatu yang menarik, tetapi tidak terlihat.

2. Kehadiran koordinat tersembunyi kedua menghilangkan paradoks waktu nol.

3. Karena kelengkungan ruang di sekitar benda masif selalu dapat diuraikan menjadi dua komponen, yang satu dikaitkan dengan energi benda, dan yang kedua secara eksklusif dengan ruang, maka langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan relativitas umum untuk kasus vakum ruang-waktu lima dimensi. Lebih lanjut tentang ini di artikel berikutnya.

Bonus. Di seberang sudut

Jelasnya, signifikansi medan dapat diungkapkan pada suatu titik melalui sudut datar, yang menyatakan penyimpangan lintasan gerak dari ruang datar (dengan tidak adanya medan gravitasi).

Mari kita nyatakan jumlahnya

b

$b$ dan

d

$d$ di seberang sudut

α = ∠ O B C

$\alpha = \angle{OBC}$ :

b = r \cdot \cos α; d = r \cdot \sin α

$b = r \cdot \cos\alpha; \ d = r \cdot \sin\alpha$ ... Sebut saja sudut kelengkungan lintasan. Kemudian faktor tersebut dapat diekspresikan dengan cara yang sangat berbeda:

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = \cos^{2} α - \sin^{2} α = \cos^{4} α - \sin^{4} α = 1 - 2 \sin^{2} α =

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha =$

= \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α} = \cos 2 α (6)

$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6)$

Saya terutama menyukai versi tangen.

gambar

Gantikan dalam interval awal:

d s^{2} = - \cos 2 α \cdot c^{2} d t^{2} + \cos^{- 1} 2 α \cdot d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Semuanya, sebagaimana mestinya, berubah menjadi metrik Minkowski datar untuk

α = 0

$\alpha = 0$ ...

Pasti harus ada yang kelima ...

Untuk dilanjutkan.

Representasi geometris kelengkungan ruang dalam metrik Schwarzschild

Melalui volume 3-bola

kesimpulan

Bonus. Di seberang sudut

More articles: