Tiga ahli matematika memiliki jawaban untuk pertanyaan mendasar tentang jalur lurus pada padatan Platonis 12 sisi
Terlepas dari kenyataan bahwa matematikawan sudah berusia lebih dari 2000 tahun [ dan, mungkin, bahkan lebih / kira-kira. terjemahan. ] menganalisis struktur lima polihedron biasa (padatan Platonis) - tetrahedron, heksahedron (kubus), oktahedron, dodecahedron, dan ikosahedron - kami masih belum tahu banyak tentang mereka.
Dan tiga ahli matematika telah menjawab salah satu pertanyaan paling dasar tentang dodecahedron.
Misalkan Anda berdiri di salah satu simpul dari polihedron beraturan. Apakah ada jalur langsung di mana seseorang dapat kembali ke titik awal tanpa melalui simpul lainnya? Untuk empat polihedra reguler lainnya yang terdiri dari persegi atau segitiga sama sisi - tetrahedron, kubus, oktahedron, dan ikosahedron - ahli matematika baru-baru ini telah memberikanjawaban negatif untuk pertanyaan ini. Setiap jalur lurus yang dimulai dari salah satu simpul akan bertabrakan dengan simpul lain, atau selamanya akan berputar di sepanjang permukaan gambar, tidak pernah kembali ke titik awal. Namun, ahli matematika tidak tahu apa yang diharapkan dari dodecahedron yang terdiri dari 12 pentagon.
Sekarang Jadev Atreya , David Olicino dan Patrick Hooper telah menunjukkan bahwa memang ada jalan yang jumlahnya tak terhingga pada dodecahedron. Makalah mereka , yang diterbitkan pada bulan Mei di jurnal Experimental Mathematics, menunjukkan bahwa jalur ini secara alami dapat dibagi menjadi 31 keluarga.
Menemukan solusi membutuhkan penggunaan teknologi modern dan kompilasi algoritma komputer. “Sekitar dua puluh tahun yang lalu, pertanyaan ini di luar jangkauan; 10 tahun yang lalu, dibutuhkan upaya yang luar biasa untuk menulis semua program yang diperlukan; dan hanya hari ini semua faktor bersatu, ”tulis Anton Zorich dari Institut Matematika Jassi di Paris dalam email.
Proyek ini dimulai pada tahun 2016, ketika Atreya dari University of Washington dan Olicino dari Brooklyn College mulai bermain dengan satu set bentuk datar yang dilipat menjadi polihedron biasa. Selama perakitan polyhedron, Olicino menyadari bahwa material yang terkumpul baru-baru ini pada geometri bidang mungkin berguna untuk memahami jalur lurus pada dodecahedron. “Kami benar-benar mengumpulkan potongan-potongan ini dari potongan-potongan yang tersebar,” kata Atreya. "Keingintahuan sederhana para peneliti bertepatan dengan kesempatan baru."
Bersama dengan Hooper dari City College di New York, para peneliti menemukan cara untuk mengklasifikasikan semua jalur lurus yang keluar dari satu sudut dan masuk ke dalamnya, melewati sudut lainnya.
Analisis mereka adalah "solusi elegan", seperti yang dikatakan Howard Mazur .dari Universitas Chicago. "Ini adalah salah satu kasus ketika saya dapat mengatakan tanpa ragu-ragu: Wow, mengapa saya tidak!"
Simetri tersembunyi
Meskipun matematikawan telah berbicara tentang jalur lurus pada dodecahedron selama lebih dari satu abad, minat pada topik ini telah dihidupkan kembali dalam beberapa tahun terakhir berkat pengetahuan baru yang diperoleh di bidang "permukaan transfer". Permukaan semacam itu dibentuk dengan merekatkan sisi paralel dari sebuah polihedron. Mereka telah terbukti sangat berguna untuk menjelajahi berbagai topik yang berkaitan dengan jalur lurus di sepanjang bentuk dengan sudut - dari lintasan bola biliar hingga pertanyaan tentang apakah satu sinar cahaya dapat menerangi seluruh ruangan dengan dinding cermin.
Ide dasar dalam semua tugas ini adalah membuka bentuk sehingga menjadi lebih mudah untuk mempelajari jalur yang mengikutinya. Untuk memahami jalur lurus di sepanjang polihedron biasa, Anda dapat mulai dengan memotong tepi yang cukup sehingga dapat diperluas pada bidang, membentuk, seperti yang dikatakan ahli matematika, jaringan. Salah satu jaringan untuk kubus, misalnya, adalah bentuk "T", yang terdiri dari enam kotak.
Kertas dodecahedron, dibuat pada tahun 2018 oleh David Olicina dan Jadev Atreya untuk mendemonstrasikan kemampuan untuk mengarahkan jalur dari satu titik kembali ke sana tanpa melintasi yang lain.
Bayangkan bahwa kita telah membuat sapuan dodecahedron, dan sekarang kita sedang berjalan di sepanjang itu ke arah tertentu. Cepat atau lambat kita akan menemukan tepi jaring, setelah itu jalan kita akan melompat ke segi lima yang berdekatan (yang sudah direkatkan dengan yang sekarang sebelum kita memotong dodecahedron kita). Saat melompat, jalur secara bersamaan berbelok melalui sudut tertentu, yang nilainya dalam derajat habis dibagi 36.
Untuk menghindari semua lompatan dan belokan ini, saat kita bertemu sebuah tepi, kita bisa merekatkan jaring baru yang sudah diputar ke atasnya dan terus berjalan lurus. Kemudian kita akan menambahkan redundansi: kita akan memiliki dua segi lima yang berbeda, yang menunjukkan segi lima dari dodecahedron aslinya. Kami telah mempersulit dunia kami, tetapi kami telah menyederhanakan jalan kami. Kita dapat terus menambahkan jaringan baru setiap kali kita perlu melampaui batas dunia kita.
Pada saat jalur kami melewati 10 jaring, kami akan memutar jaring asli kami dengan semua kemungkinan sudut yang dapat dibagi 36, dan orientasi tautan berikutnya yang kami tambahkan akan cocok dengan yang kami mulai. Ternyata jaringan ke-11 diperoleh dari aslinya dengan pergeseran sederhana - seperti yang dikatakan ahli matematika, melalui transfer. Alih-alih menempelkan mata jaring ke-11, kita cukup merekatkan tepi mata jaring ke-10 ke tepi paralel yang sesuai dari mata jaring asli. Gambar kita tidak akan lagi datar, tetapi ahli matematika percaya bahwa ia "mengingat" geometri datar dari inkarnasi sebelumnya - jadi, misalnya, jalur dianggap lurus jika lurus pada gambar yang belum dilem. Setelah kita melakukan semua kemungkinan perekatan pada tepi paralel yang sesuai, kita mendapatkan yang disebut. permukaan transfer.
Atreia mentato permukaan transfer favoritnya, segi lima ganda, di tangan kanannya
Permukaan yang dihasilkan adalah representasi yang sangat redundan dari dodecahedron, di mana 10 salinan dari setiap segi lima terlibat. Dan ternyata jauh lebih kompleks - direkatkan dalam bentuk donat dengan 81 lubang. Namun, bentuk kompleks ini memungkinkan ketiga peneliti untuk memahami teori permukaan transfer yang kaya.
Menghadapi permukaan yang begitu besar, para ahli matematika menyingsingkan lengan baju mereka - baik secara kiasan maupun harfiah. Setelah bekerja dengannya selama beberapa bulan, mereka menyadari bahwa permukaan donat 81 lubang membentuk presentasi berlebih tidak hanya dodecahedron, tetapi juga salah satu permukaan transfer yang paling umum dipelajari. Ini adalah pentagon ganda, yang diperoleh dengan merekatkan dua pentagon di sepanjang salah satu tepinya, dan kemudian merekatkan semua sisi paralel untuk membuat donat dengan dua lubang dan satu set simetri yang besar.
Juga, sosok ini ditato di lengan Atreya. “Saya sudah tahu dan menyukai segi lima ganda ini,” kata Atreya, yang membuat tato itu setahun sebelum dia dan Olicino mulai memikirkan tentang dodecahedron.
Karena segi lima ganda dan dodecahedron adalah sepupu geometris, tingkat kesimetrian yang tinggi dari yang pertama dapat membantu untuk memahami struktur yang terakhir. "Ini adalah simetri laten yang luar biasa," kata Alex Eskin dari Universitas Chicago (yang menjadi penasihat Atreya tentang disertasi doktoralnya 15 tahun lalu). "Bahwa dodecahedron memiliki kelompok simetri laten sangat luar biasa."
Jadev Atreya berbagi bagaimana dia dan rekan-rekannya memecahkan masalah lama dalam menemukan jalur lurus pada dodecahedron.
Hubungan antara permukaan ini memungkinkan para peneliti untuk memanfaatkan algoritma analisis permukaan transfer yang sangat simetris yang dikembangkan oleh Miriam Finster dari Institut Teknologi Karlsruhe. Dengan mengadaptasi algoritmanya, para peneliti dapat menemukan semua jalur lurus pada dodecahedron yang keluar dan kembali ke satu simpul, dan mengklasifikasikannya berdasarkan kesimetrian tersembunyi dodecahedron.
Atreya menggambarkan analisis ini sebagai "salah satu proyek paling menarik sepanjang karier saya." Jadev mengatakan sangat penting untuk terus bermain dengan berbagai hal.
Hasil baru menunjukkan bahwa bahkan dalam objek yang telah dipelajari orang selama ribuan tahun, rahasia mungkin masih tersembunyi, kata Eskin. "Saya pikir bahkan untuk ketiga ahli matematika ini, itu adalah kejutan bahwa mereka dapat mengatakan sesuatu yang baru tentang dodecahedron."