Trem acak di tengah kota yang tidak dikenal

Ada satu masalah yang agak aneh, yang telah lama dimasukkan dalam cerita rakyat matematika, dan juga menjadi tes favorit dalam wawancara. Kondisinya sederhana, dan solusinya tampaknya menyarankan dirinya sendiri, tetapi jangan terburu-buru mengambil kesimpulan. Ambil pensil, selembar kertas kosong, duduk dan mari kita cari tahu.

Apa sebenarnya tugas itu

Jadi bayangkan Anda telah tiba di kota yang sama sekali tidak dikenal dan trem pertama yang Anda temui adalah nomor 17. Bagaimana Anda bisa memperkirakan berapa banyak rute trem yang ada di kota ini?



Untuk mempermudah, pertimbangkan bahwa rute trem di kota diberi nomor tanpa celah dengan nomor dari 1 sampai N, dan awalnya masing-masing nomor ini dengan peluang yang sama bisa menjadi nomor trem yang akan Anda lihat pertama kali.



Untuk pertama kalinya saya mendengar masalah "trem tak disengaja" dari Nikolai Nikolaevich Vasiliev, teman saya dari matematikawan St. Petersburg. Kemudian dia berbagi dengan saya pengamatan bahwa di antara mereka yang kepadanya dia menceritakan masalah ini, dan kemudian meminta jawaban tanpa ragu-ragu, kebanyakan orang memanggil nomor 34, yaitu, " x2 " dari 17. Dalam pengalaman saya, yang paling boros adalah jawaban teman saya dengan “Mechmat”: 17. Hanya seminggu kemudian saya menyadari bahwa dia digerakkan oleh prinsip maksimalisasi kemungkinan, yang tidur di suatu tempat di subkorteks otaknya. Oke, tapi 17 dan 34, dengan kata lain " x1 " dan " x2 ", adalah jawaban yang naif dan sembrono, tapi apa jawaban yang benar, dan secara umum, apakah soal ini ada?



Jebakan dan alam fantasi



Mengapa perlu meragukan keberadaan jawaban yang benar secara universal? Ide ini mudah didapat jika Anda mempertimbangkan beberapa alam semesta sederhana, meskipun fiksi. Misalnya, bayangkan persis ada 30 rute trem di setiap kota di Bumi. Akankah "30" menjadi satu-satunya jawaban yang benar di alam semesta ini? Sekarang bayangkan di alam semesta lain ada 1000 kota di Bumi, dan di 999 di antaranya ada 30 rute trem, dan sisanya - tepat ada 17 di antaranya. Jawaban mana yang akan benar kali ini dan bagaimana pengaruhnya terhadap fakta bahwa kota-kota dengan Ada banyak 30 rute, tapi dengan 17 hanya ada satu? Saya harus segera mengatakan bahwa sangat sulit untuk menggunakan pertimbangan probabilistik di sini, karena orang yang diminta untuk memperkirakan jumlah rute tidak tahu apakah kota yang dia kunjungi sekarang dipilih di peta secara kebetulan,atau ada alasan tertentu dalam pilihan ini dan ada perhitungan seseorang.

Prinsip pesimisme matematis yang ekstrim

Terlepas dari kesulitan yang dinyatakan, dalam matematika ada prinsip yang dengannya seseorang dapat memberikan jawaban untuk masalah kita, yang tetap bermakna bahkan di dunia yang paling aneh sekalipun.

Dalam hal permainan, prinsip ini disebut maksimalisasi kemenangan terjamin,

dan untuk memahami esensinya, mari kita lihat satu contoh sederhana.



Bayangkan sebuah permainan: diam-diam dari Anda di salah satu kepalan tangan saya, saya menyembunyikan benda kecil, biarlah menjadi kacang kering, lalu saya rentangkan tangan saya ke depan dan meminta Anda menebak di mana kacang ini. Biarkan kami memiliki waktu untuk memainkan banyak sekali permainan, dan awalnya Anda tidak tahu apakah saya mencoba mengalahkan Anda di dalamnya, saya mencoba dengan sengaja mengalah, atau saya tetap tidak peduli dengan kesuksesan Anda. Katakanlah tujuan Anda adalah memenangkan permainan sebanyak mungkin. Strategi apa yang harus Anda ikuti dalam kasus ini?



Pertama, mari kita coba menganalisis kelebihan dan kekurangan dari empat strategi sederhana berikut ini:

1. Selalu pilih tangan kanan Anda.
2. Mulailah dengan tangan kanan, lalu pilih tangan tempat kacang terakhir ditemukan.
3. , , . «1» «2», , «3», «4», «5» «6» — .
4. , . , «», , «» — .

Jika Anda memutuskan untuk menggunakan strategi 1) dan pada saat yang sama saya akan selalu menyembunyikan kacang polong di tangan kanan saya, maka semua permainan akan berakhir untuk Anda. Kita dapat mengatakan bahwa skenario perkembangan partai, di mana saya menyembunyikan kacang polong secara eksklusif di tangan kanan saya, adalah yang terbaik untuk 1) . Namun, dalam skenario terburuk saya , skenario di mana saya menyembunyikan kacang secara eksklusif di tangan kiri saya, strategi 1) tidak akan memungkinkan Anda memenangkan satu permainan, tidak peduli berapa lama permainan kami.



Mudah ditebak bahwa strategi 2) menderita "wakil" yang sama, yaitu dalam skenario terburuk untuk itu, ketika saya mulai dengan tangan kiri saya dan kemudian mengganti tangan di setiap permainan berikut, tidak akan memungkinkan Anda untuk menang sekali pun, tidak peduli berapa lama pesta kami berlangsung.



Sekarang mari kita turun ke strategi yang menempati urutan ketiga dalam daftar kita. Jika Anda menggunakannya, maka peluang Anda untuk menang di setiap game yang menyembunyikan kacang di tangan kanan Anda adalah 1/3, dan di game di mana kacang polong ada di tangan kiri Anda - 2/3. Jelas bahwa skenario terburuk untuk 3) adalah ketika saya memiliki kebiasaan menyembunyikan kacang polong secara eksklusif di tangan kanan saya. Namun, bahkan dalam kasus ini, dalam set game yang cukup lama, sekitar sepertiganya akan berakhir dengan kemenangan Anda. Secara teoritis, tentu saja, Anda mungkin tidak beruntung, dan Anda tidak akan pernah menebak dengan benar, tetapi dalam praktiknya, katakanlah dalam permainan 1000 pertandingan, hampir tidak mungkin jumlah kemenangan Anda kurang dari$$, yaitu kurang dari $$, dan dalam game sejuta game, kemungkinan persentase perbedaannya akan lebih kecil. Faktanya, dengan memilih strategi 3), Anda dengan demikian menjamin diri Anda sendiri bahwa sekitar sepertiga dari permainan pesta akan tetap bersama Anda.



Jika Anda menggunakan strategi keempat dalam daftar, maka permainan kami memperoleh fitur yang menarik: sebenarnya, itu tidak lagi penting bagi Anda, kali ini saya menyembunyikan kacang polong di tangan kanan saya atau meletakkannya di kiri saya, karena dalam kedua situasi peluang Anda untuk menang akan sama dan akan menjadi tepat 50%. Anda bahkan dapat mengatakan bahwa setiap urutan tangan yang telah saya uraikan di mana saya akan menyembunyikan kacang akan menjadi skenario terbaik dan terburuk untuk pengembangan pesta untuk Anda. Ternyata, dalam beberapa kasus, dalam kumpulan game yang cukup panjang, sekitar setengahnya harus berakhir dengan kemenangan Anda. Dalam hal ini, strategi 4) memberi Anda jaminan terbesar dibandingkan dengan semua strategi lain yang telah kami pertimbangkan di sini.



Prinsip memaksimalkan pembayaran yang dijamin mengatur bahwa Anda menghitung semua kemungkinan strategi permainan, untuk masing-masing dari mereka menghitung nilai pembayaran dalam skenario terburuk untuk itu dan menyatakan strategi optimal di mana jumlah pembayaran ini akan menjadi yang terbesar. Dapat dibuktikan bahwa dalam permainan menebak lokasi kacang polong, yang optimal, dan bukan hanya yang terbaik dari daftar, adalah strategi nomor 4. Intinya, memaksimalkan jaminan kemenangan mirip dengan kredo hidup orang-orang yang selalu cenderung mengharapkan yang terburuk, tetapi tetap saja mencoba memperbaiki posisi mereka dalam hidup.

Masalah trem "acak" mengambil bentuk akhirnya

Formalisme



Untuk menggunakan prinsip memaksimalkan jaminan kemenangan, bayangkan bahwa takdir memainkan permainan dengan Anda: ia mengirim Anda berulang-ulang ke kota tak dikenal yang terletak di alam semesta tak dikenal, menunggu sampai Anda bertemu trem pertama di sana, lalu bertanya berapa harganya sama di kota ini hanya ada jalur trem. Kami akan berasumsi bahwa jawaban Anda dianggap dapat diterima dan permainan berakhir menguntungkan Anda, jika hanya nomor yang Anda sebutkan berbeda kurang dari dua kali dari yang sebenarnya, baik ke atas maupun ke bawah. Kami juga akan berasumsi bahwa ini adalah kumpulan game yang sangat panjang, berlangsung seumur hidup.



Sekarang cukup sah untuk mengajukan pertanyaan: "Strategi apa dalam permainan yang dijelaskan yang akan optimal untuk Anda dalam arti dapat memberikan jumlah maksimum jawaban yang dijamin dapat diterima?"



Analisis rinci dari strategi paling sederhana



Sebagai "pertempuran pertama" dengan masalah yang baru saja diajukan, mari kita coba mencari tahu seberapa baik strategi naif " x1 " dan " x2 " untuk itu .



Jadi, takdir melemparkan kami ke kota lain yang tidak dikenal. Seperti sebelumnya, surat itu$$menunjukkan jumlah jalur trem di kota ini. Menurut ketentuan, semua nomor dari$$ sebelum $$ dengan probabilitas yang sama mungkin nomor rute $$, yang akan diikuti oleh trem pertama yang kami lihat.



Menurut strategi " x1 "$$ untuk nomornya $$ harus dengan sendirinya $$... Jelas itu$$ tidak akan lagi $$, jadi tidak bisa seperti itu $$ lebih $$... Oleh karena itu, perkiraan kami tidak dapat diterima hanya dalam satu kasus: jika$$, mis $$, ternyata kurang dari $$... Kemungkinan mendapatkan$$ lebih rendah $$ dengan aneh$$tidak melebihi 50%, dan bahkan - sama dengan mereka. Oleh karena itu, ketika menggunakan strategi " x1 " dalam rangkaian game yang sangat panjang, setidaknya (kurang lebih) setengah dari perkiraan yang dibuat dijamin dapat diterima, tidak peduli skenario apa yang ditimbulkan oleh nasib.



Sekarang misalkan kita memutuskan untuk menggunakan strategi " x2 ". Menurut aturan strategi ini, bila Anda melihat nomor di trem$$, kita harus sebagai $$ sebutkan nomornya $$... Seperti dalam kasus sebelumnya, perkiraan kami tidak akan pernah melampaui$$, dan karena itu akan dianggap tidak dapat diterima hanya dalam satu syarat, jika nilainya kurang dari $$... Dalam waktu yang bersamaan,$$ akan lebih sedikit $$, hanya jika nomor trem $$ akan lebih kecil dari $$... Probabilitas acara terakhir untuk kota-kota dengan$$ kelipatan 4 sama dengan $$, dan bahkan lebih sedikit untuk kota lain. Oleh karena itu, jika kita memutuskan untuk mengikuti strategi " x2 ", maka kita mendapatkan jaminan bahwa dalam permainan permainan yang panjang setidaknya (kira-kira) 3/4 dari semua jawaban kita akan dapat diterima, tidak peduli seberapa buruk nasib berperilaku dengan kita.



Melalui duri ke bintang-bintang



Sebelum melanjutkan ke bagian utama cerita, di mana kita mencari strategi yang optimal, saya akan sedikit mengubah kondisi masalah dan berasumsi bahwa$$, $$ dan $$sekarang tidak hanya dapat mengambil nilai alam, tetapi juga nilai nyata yang lebih besar dari nol. Langkah ini diperlukan untuk menyingkirkan peringatan yang mengganggu dan penghitungan yang membosankan dari kasus-kasus khusus yang terkait dengan keleluasaan. Tentu saja sekarang masih sulit membayangkan kota yang memiliki trem dengan semua nomor dari 0 sampai π, tapi ini tidak perlu bagi Anda. Masalah kita dalam modifikasi berkelanjutan barunya memiliki model yang sederhana dan cukup realistis.



Bayangkan seseorang mengambil film fotografi yang panjang$$cm dan memutuskan untuk mengamati bagaimana partikel yang datang dari luar angkasa akan meninggalkan bekas di atasnya. Pada skala percobaan, kepadatan probabilitas partikel yang mengenai film akan dijelaskan dengan distribusi seragam selama interval$$... Dalam percobaan ini, pelaku eksperimen memberi tahu Anda jarak$$antara tepi kiri film dan titik di mana partikel terdaftar pertama mengenai. Seperti sebelumnya, Anda diharuskan memberikan rating yang dapat diterima$$ karena tidak Anda kenal $$, yaitu, perkiraan yang berbeda dari $$tidak lebih dari dua kali, baik ke atas maupun ke bawah. Seperti sebelumnya, takdir memainkan permainan panjang dengan Anda, setiap kali memutuskan apa yang akan terjadi$$di game lain.



Sebagai latihan sederhana, tunjukkan bahwa meskipun kondisi berubah, strategi " x1 " masih menjamin Anda sekitar 50%, dan ahli strategi " x2 " - perkiraan yang sama kira-kira 75% yang dapat diterima, terlepas dari skenario mana yang dipilih takdir.

Jalan panjang menuju kesempurnaan

Pra-penyaringan



Akhirnya, semua persiapan sudah selesai dan di bagian ini kita bisa mulai mencari strategi yang optimal. Untuk kesederhanaan, bagaimanapun, kami tidak akan mempertimbangkan semua strategi, tetapi kami akan membatasi diri pada strategi yang diestimasi$$ bayangkan sebagai $$dimana $$ Apakah beberapa fungsi bernilai nyata ditentukan pada interval $$...



Bayangkan sekarang dalam satu percobaan jarak dari titik tumbukan partikel ke tepi kiri film sama dengan$$, dan dalam eksperimen lain - $$, dan $$... Bukankah lebih masuk akal untuk memberikan perkiraan yang lebih kecil untuk panjang film pada percobaan pertama daripada percobaan kedua? Jika demikian, maka dari ketimpangan$$ ketidaksetaraan harus selalu mengikuti $$dengan kata lain, fungsinya $$harus ditingkatkan secara ketat. Yang tidak kalah masuk akal adalah asumsi bahwa bagi mereka yang "mendekati" nilainya$$ dan $$ penilaian $$ dan $$ juga harus dekat, yaitu fungsinya $$harus terus menerus.



Jika kami menganalisis jawaban mana yang kami anggap dapat diterima, maka kami mendapatkan

batasan lain$$... Lihat, dalam pemahaman kita tentang masalah$$ dapat diterima jika (dan hanya jika) $$... Jarak$$ antara titik yang diterangi oleh partikel kosmik dan tepi kiri film fotografi tidak pernah melebihi panjang film $$, dari sini kita langsung mendapatkan ketimpangan: $$... Dari ketidaksetaraan terakhir dapat disimpulkan bahwa tidak masuk akal untuk belajar dari eksperimen jarak$$, evaluasi $$ jumlah $$ lebih kecil $$... Memang kalau kita tingkatkan perkiraannya$$ sebelum $$, maka kami pasti tidak akan membuatnya terlalu besar, tetapi dalam kasus-kasus ketika $$pada awalnya sangat kecil, definisi ulang seperti itu bahkan dapat "memperbaikinya". Jadi, dalam proses mencari strategi yang optimal, cukup kita pertimbangkan hanya fungsi-fungsi itu$$, nilai-nilainya untuk semua $$ tunduk pada ketidaksetaraan

$$...



Rumus Yang Mulia



Sekarang kita akan mencoba untuk mengungkapkan nilai keuntungan yang dijamin dalam bentuk rumus analitis umum tertentu untuk strategi arbitrer.



Jadi, dalam percobaan berikutnya tentang pendaftaran partikel kosmik, sebuah film fotografi dengan panjang$$, $$ - penghilangan titik tumbukan partikel pertama dari tepi kiri (film), dan $$ - perkiraan kami untuk $$... Biarkan percobaan berlangsung, lalu berapa probabilitasnya$$ akan diterima oleh $$? Nilai terbesar$$, bila masih dianggap dapat diterima, adalah $$, yang terkecil $$...



Karena$$ meningkat secara ketat dan kontinu, maka ada fungsi terbalik $$, yang juga terus meningkat dan berkelanjutan. Untuk nilai$$ dimana-mana ketidaksetaraan $$, jadi untuk nilainya $$ ketidaksetaraan ganda harus dipenuhi: $$(gbr 1)





gbr. 1



Sekarang mudah untuk mengetahui bahwa nilai maksimum$$di luar itu $$ menjadi sangat besar, adalah $$... Ini mengikuti dari fakta bahwa$$ meningkat secara ketat dan $$... Begitu pula dengan nilai minimumnya$$kurang dari itu $$ menjadi sangat kecil, adalah $$... Dari dua pernyataan terakhir berikut ini$$ akan diterima sehubungan dengan $$ jika (dan hanya jika) jarak $$ antara tempat yang terbuka dan tepi kiri film akan ditutup di antaranya $$ dan $$... Probabilitas peristiwa terakhir, kami menyatakannya sebagai$$, adalah sama dengan:

$$

atau lebih detail:

$$

Harus jelas bahwa yang terburuk untuk $$ skenario akan menjadi urutan eksperimen tersebut, di mana masing-masing dari panjang film fotografis $$ meminimalkan nilainya $$... Oleh karena itu, dalam rangkaian percobaan yang sangat panjang, bagian jawaban yang dapat diterima dijamin oleh perkiraan$$, akan diberikan oleh ekspresi:

$$

Kami sekarang dapat berargumen bahwa strategi optimal apa pun harus memaksimalkan $$, dengan kata lain, $$ akan optimal jika dan hanya jika:

$$

...

Jadi, masalah menemukan perkiraan optimal telah direduksi menjadi pertanyaan seperti apa fungsinya$$yang menyampaikan ekspresi

$$

maksimum di kelas dari semua fungsi yang sangat meningkat terus menerus yang ditentukan

pada interval$$yang grafiknya tidak lebih rendah dari $$... Bukankah benar bahwa dalam situasi seperti ini, tugas tersebut tampak sangat sulit? Saya pikir ini akan terdengar tidak terduga bagi Anda, tetapi jawabannya sangat sederhana. Mari kita coba menebaknya bersama.



Seni Penalaran yang Masuk Akal



Mungkin hal paling sederhana untuk memulai adalah mencari tahu fungsi dari bentuk itu$$ (sini $$- bilangan riil apa pun ≥2) memberikan ekspresi (*) nilai tertinggi. Terbalik untuk$$ melayani fungsi $$menggantikannya menjadi ekspresi untuk $$, kita punya:

$$

Seperti yang dapat Anda lihat, $$ tidak bergantung pada $$ dan semakin besar nilainya, semakin kecil nilainya $$... Jadi, di kelas fungsi$$, $$ nilai terbesar untuk ekspresi (*) diberikan oleh fungsi yang sudah kita kenal $$...



Sekarang mari kita pikirkan apa yang terjadi jika kita mengukur jarak tidak dalam sentimeter, tetapi, katakanlah, meter, inci atau tahun cahaya - bagaimana kemudian bentuk fungsinya akan berubah$$perkiraan optimal?



Biarkan perkiraan dalam sentimeter$$ memiliki bentuk $$, dan $$ dan $$ - jumlah yang sama dinyatakan dalam meter, maka:

$$

Secara umum, kita akan membahas skala panjang $$ dan skala panjang $$yang diperoleh dari $$ mengalikan dengan koefisien $$... Setiap skor$$ dapat dihitung seperti dalam satuan skala $$, dan dalam satuan skala $$... Biarlah$$ - Representasinya dalam satuan skala $$, dan $$ - representasi dalam satuan skala $$, kemudian:

$$

Bentuk persamaan terakhir menunjukkan bahwa fungsinya $$ dan $$ kemungkinan besar berbeda ($$dalam hal ini, ini adalah variabel nyata dengan arti netral).



Apakah menurut Anda masuk akal bahwa kita dan beberapa perwakilan dari peradaban kosmik yang jauh akan menerima jawaban yang berbeda untuk masalah yang diselesaikan di sini hanya karena kita memiliki satuan panjang yang berbeda dengannya? Mungkin tidak! Oleh karena itu, untuk setiap$$ dan fungsi apa pun $$yang memaksimalkan ekspresi $$, fungsi $$ juga harus memaksimalkan $$... Jika tiba-tiba$$ adalah satu-satunya yang optimal $$ berfungsi, lalu untuk semua $$ dan $$ identitas memegang:

$$

Menempatkan identitas ini $$, dengan demikian kami menemukan bentuk fungsinya $$:

$$

Lihat apa yang terjadi: jika semua dari banyak asumsi kita benar, maka fungsi optimal $$ termasuk dalam kelas fungsi $$, tetapi sebelumnya kita telah menemukan bahwa di dalam kelas yang ditentukan nilai maksimum dari ekspresi tersebut $$ melampirkan fungsi $$... Apakah " x2 " merupakan strategi yang optimal ?



Kesimpulan Ketat: Optimalitas x2



Ok, kami memiliki banyak petunjuk bahwa perkiraan diberikan oleh fungsi$$, optimal. Mari kita buktikan hipotesis ini dengan teliti, dan juga tentukan dalam kondisi apa tidak ada perkiraan optimal lainnya.



Ambil fungsi yang meningkat secara ketat terus menerus$$memuaskan ketidaksetaraan $$, kami memperbaiki beberapa $$ dari kisaran nilainya dan pertama-tama coba cari tahu makna geometris apa yang tersembunyi di balik nilai tersebut $$...





Angka: 2



Jika grafik fungsi$$ tandai poin $$ dan $$ (Gambar 2), lalu hubungkan dengan satu segmen, kemudian garis singgung sudut kemiringan segmen ini ke sumbu $$ akan diekspresikan dengan rumus

$$

Artinya, pada kenyataannya, itu akan sama dengan $$dari $$... Pengamatan yang sama dapat diekspresikan dengan cara yang sedikit berbeda: untuk ini Anda memerlukan sebuah segmen$$ terlihat seperti grafik dari beberapa fungsi $$... Di dalam interval$$ fungsi $$ jelas memiliki turunan konstan dan $$ adalah sama $$-th besarnya.



Sekarang tidak lagi sulit untuk menunjukkan fungsinya$$ tidak bisa mengalahkan $$ infinum terbesar $$, dengan kata lain, strategi " x2 " sudah optimal.



Saya akan mulai dengan dua kata pengantar:

1. $$, jadi $$ yaitu grafik fungsi $$ terletak tidak di atas grafik $$
2. nilai nilai $$ tidak bergantung pada $$ dan setara $$, turunan $$ di semua poin sama dengan $$...

Untuk sampai pada kontradiksi nanti, mari kita asumsikan dulu $$ benar-benar lebih baik $$... Yang terakhir hanya mungkin jika ada beberapa$$ dan untuk semua $$ ketidaksetaraan memegang: $$...



Untuk beberapa$$ perhatikan pada grafik fungsinya $$ urutan poin

$$

, hubungkan dengan yang rusak $$ dan kami menafsirkan garis putus-putus ini sebagai grafik dari fungsi linier sebagian $$... Berurutan$$ setiap nilai berikutnya 4 kali lebih besar dari yang sebelumnya, jadi untuk setiap dua angka yang mengikuti satu sama lain, kita dapat melihat beberapa $$ dan $$... Yang terakhir berarti di setiap tautan$$ garis putus-putus $$ turunannya setidaknya $\$\; sebaris\; \$\; 2/3\; \backslash \; cdot\; \{inf\}\; \_v\; [p\_\; \{berhasil\}\; \backslash \; kiri\; (f,\; \backslash \; v\; \backslash \; kanan)]\; \ge 2\; /\; 3\cdot \; (3/4\; +\; \epsilon )\; =\; 1/2\; +\; 2\; /\; 3\cdot \epsilon \; \$\; sebaris\; \$$...



Sejak turunan$$ sama $$dan turunannya $$ di semua poin lebih $$ setidaknya untuk $$, lalu berapa pun nilainya $$ pada intinya $$, dengan pembesaran tak terbatas $$ cepat atau lambat jadwalnya akan lebih tinggi dari jadwal $$... (gbr 3)





gbr. 3



Pada saat yang sama, Anda perlu mengingat bahwa simpul dari polyline$$ terletak pada grafik fungsi $$, oleh karena itu (lihat Catatan 1)) mereka sendiri dan seluruh garis putus-putus tidak boleh lebih tinggi dari grafik $$... Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan hal itu$$optimal.



Kesimpulan yang ketat: keunikan



Apa yang akan terjadi jika, dalam bukti yang baru saja disajikan, kita membuat garis putus-putus di sepanjang urutan simpul, yang, bukannya menjauh dari sumbu tanpa batas$$, akan menjadi sebaliknya - berjuang untuk itu. Faktanya, ini dapat membuktikan bahwa di alam semesta mana pun di mana dimensi strip film sama sekali tidak dibatasi dari bawah, kecuali untuk strategi dengan fungsinya.$$, tidak ada strategi optimal lainnya. Mari kita lihat.



Misalkan ada fungsi$$, yang di satu sisi optimal, dan di sisi lain, berbeda dari $$... Dalam hal ini, fungsinya$$ berbeda dari $$, dan karena ketidaksetaraan $$, maka setidaknya satu nilai harus ditemukan $$di mana $$ akan lebih sedikit $$... Biarlah$$ salah satu nilai ini $$... Mirip dengan bagaimana kami bertindak di atas, pada grafik$$ tandai urutan poin

$$

dan menarik garis putus-putus melalui mereka $$(Gambar 4). Sekali lagi kita akan menafsirkan garis putus-putus ini sebagai beberapa fungsi linier sebagian$$... Untuk alasan yang persis sama seperti sebelumnya, turunan dari fungsi tersebut$$ di setiap tautan $$ tidak kurang dari $$... Karena$$ jadi optimal $$ harus tidak kurang dari $$... Menggabungkan dua pernyataan terakhir, kita mendapatkan turunan dari fungsinya$$ tidak kurang $$...





Angka: 4



Mari kita tunjukkan simbolnya$$ perbedaan $$ dan perkenalkan fungsi lain: $$... Di antara sifat-sifat yang jelas$$ berikut ini dapat dicatat:

1. pada intinya $$ nilai $$ cocok dengan nilai fungsi $$
2. turunan $$ dengan semua $$ sama dan sederajat $$

Mari kita lihat bagaimana nilai fungsi akan berubah. $$ dan $$ saat mengurangi argumen $$ dari $$ sebelum $$... Nilai dulu$$ dan $$adalah sama. Turunan$$ di antara keduanya $$ tidak kurang dari turunan $$, oleh karena itu nilai fungsinya $$ menurunkan tidak lebih lambat dari nilai penurunan $$... Dari fakta-fakta yang terdaftar dapat disimpulkan bahwa selama seluruh interval$$ $$...



Karena$$, lalu di jeda $$ berarti $$ negatif, dan sejak $$ lalu nilainya $$itu juga harus negatif. Pada saat yang sama puncak$$ Apakah titik-titik dari grafik fungsi $$, fungsi yang dapat mengambil nilai positif secara eksklusif ($$ didefinisikan hanya untuk yang positif $$), jadi nilainya $$tidak boleh negatif. Kontradiksi yang diperoleh membuktikan bahwa, sebagai tambahan$$, tidak ada perkiraan optimal lainnya.

Pertanyaan diskusi

Cobalah untuk secara mandiri menyesuaikan solusi dari masalah "partikel acak" dengan kondisi masalah "trem acak". Apa hasilmu?



Bayangkan kita sedang memecahkan masalah "partikel acak" di alam semesta yang filmnya

tidak boleh lebih pendek dari 10 sentimeter. Tunjukkan bahwa perkiraan kondisi ini$$akan tetap optimal, meski bukan lagi satu-satunya. Tunjukkan bahwa optimal, misalnya, adalah perkiraannya$$... Nilai optimal apa lagi yang Anda temukan?



Ada banyak keluhan tentang prinsip memaksimalkan kemenangan yang dijamin jika diketahui lawan tidak memiliki keinginan untuk mengalahkan Anda. Prinsip ini, misalnya, hampir tidak dapat dianggap dapat dibenarkan ketika sebuah pesta permainan dimainkan "melawan" kondisi cuaca atau "melawan" pasar saham dunia. Prinsip-prinsip pemilihan strategi apa dalam kasus-kasus ini yang dapat Anda sarankan, yang mana di antara mereka yang dapat diterapkan pada masalah "trem acak"?



Saya akan senang dengan pemikiran dan komentar Anda.



Sergey Kovalenko

2020

magnolia@bk.ru