Mengapa ahli matematika suka membuktikan hasil yang sama dengan cara yang berbeda?
Konsentrasi bilangan prima, yang ditunjukkan dengan titik kuning pada spiral heksagonal bilangan bulat positif ini, berkurang dengan jarak dari awal garis bilangan. Keteraturan yang terbukti berkali-kali ini dijelaskan oleh teorema tentang distribusi bilangan prima.
"Anda tidak dapat percaya pada Tuhan, tetapi Anda harus percaya pada Kitab itu," - pernah kata ahli matematika Hongaria Pal Erdos... Buku, yang hanya ada dalam teori, berisi bukti paling elegan dari teorema yang paling penting. Pernyataan Erd's mengisyaratkan motivasi para ahli matematika untuk terus mencari bukti baru dari teorema yang sudah terbukti. Salah satu favorit mereka adalah teorema tentang distribusi bilangan prima, sehingga mereka hanya habis dibagi oleh mereka sendiri dan oleh 1. Dan meskipun ahli matematika tidak tahu apakah bukti akan masuk ke dalam Buku, dua saingan bersaing untuk tempat pertama, bukti bahwa secara bersamaan dan independen ditemukan pada tahun 1896 oleh Jacques Hadamard dan Charles Jean de La Vallée-Poussin .
Jadi, apa sebenarnya yang dinyatakan oleh teorema ini?
Teorema tentang distribusi bilangan prima memungkinkan untuk memperkirakan bilangan prima tidak melebihi bilangan tertentu n. Nilai ini disebut π (n), di mana π adalah fungsi distribusi bilangan prima [ tidak terkait dengan bilangan π / perkiraan. terjemahan.]. Misalnya, π (10) = 4 karena ada 4 bilangan prima hingga 10 (2, 3, 5, dan 7). Demikian pula, π (100) = 25, karena ada 25 bilangan prima di antara 100 bilangan pertama. Di antara 1000 bilangan pertama, ada 168 bilangan prima, jadi π (1000) = 168, dan seterusnya. Perhatikan bahwa ketika melihat 10, 100, dan 1000 bilangan bulat pertama, persentase bilangan prima di dalamnya turun dari 40% menjadi 25% dan 16,8%. Contoh-contoh ini mengisyaratkan, dan teorema bilangan prima menegaskan bahwa kepadatan bilangan prima yang tidak melebihi bilangan tertentu berkurang dengan bertambahnya bilangan tersebut.
Tetapi bahkan jika Anda memiliki daftar bilangan bulat yang diurutkan hingga, katakanlah, satu triliun, siapa yang ingin menghitung π (1.000.000.000.000) secara manual? Teorema bilangan prima memberikan kesempatan untuk menghemat energi.
Dikatakan bahwa π (n) "secara asimtotik sama" dengan n / ln (n), di mana ln adalah logaritma natural. Kesetaraan asimtotik dapat dianggap sebagai persamaan yang kasar, meskipun ini tidak sepenuhnya benar. Sebagai contoh, mari kita perkirakan jumlah bilangan prima tidak melebihi satu triliun. Alih-alih menghitung bilangan prima individu untuk menghitung π (1.000.000.000.000), Anda dapat menggunakan teorema ini dan menemukan bahwa ada sekitar 1.000.000.000.000 / ln (1.000.000.000.000), yang sama dengan 36.191.206 825 jika dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Dan dari jumlah sebenarnya, 37.607.912.018, perkiraan ini hanya berbeda 4%.
Dengan persamaan asimtotik, keakuratan meningkat dengan bertambahnya angka yang diganti dalam rumus. Faktanya, semakin dekat kita hingga tak terbatas - yang bukan angka itu sendiri, tetapi hanya sesuatu yang lebih dari angka apa pun - persamaan asimtotik mendekati persamaan nyata. Dan meskipun bilangan real bilangan prima akan selalu dinyatakan sebagai bilangan bulat, nilai di sisi lain persamaan asimtotik, yaitu pecahan di mana logaritma natural muncul, dapat mengambil nilai apa pun pada garis nyata. Hubungan antara bilangan real dan bilangan bulat ini berlawanan dengan intuisi.
Semua ini sedikit mengejutkan, bahkan untuk ahli matematika. Dan yang paling tidak menyenangkan, pernyataan teorema tentang distribusi bilangan prima tidak mengatakan apa-apa tentang mengapa relasi seperti itu berlaku.
“Teorema itu sendiri tidak pernah berharga. Ini semua tentang pembuktian, ”kata Michael Bode , profesor matematika di Queensland University of Technology di Australia.
Meskipun bukti asli Hadamard dan La Vallée-Poussin elegan, mereka didasarkan pada analisis kompleks - studi tentang fungsi bilangan kompleks - yang tidak disukai sebagian orang, karena pernyataan teorema itu sendiri tidak ada hubungannya dengan bilangan kompleks. Namun, Godfrey Harold Hardy pada tahun 1921 menggembar-gemborkan munculnya bukti non-analitis - yang disebut. bukti dasar - teorema tentang distribusi bilangan prima " sangat tidak mungkin ", dan menyatakan bahwa jika seseorang menemukannya, "harus menulis ulang teorinya."
Atle Selbergdan Erdös sendiri mengambil tantangan tersebut, dan pada tahun 1948 masing-masing menerbitkan bukti dasar baru yang independen dari teorema bilangan prima menggunakan sifat logaritma. Bukti ini mendorong matematikawan lain untuk mempertimbangkan pendekatan serupa untuk hipotesis teori bilangan yang sebelumnya dianggap terlalu sederhana untuk pernyataan kompleks semacam itu. Hasilnya, banyak hasil menarik diperoleh, termasuk bukti dasar Helmut Meier pada tahun 1985 tentang ketidakhomogenan tak terduga dalam distribusi bilangan prima.
"Teorema bilangan prima memiliki banyak pertanyaan yang belum terpecahkan," kata Florian Richter , ahli matematika di Universitas Northwestern yang baru-baru ini menerbitkan bukti dasar baru.pernyataan terkenal ini. Richter menemukannya ketika mencoba membuktikan konsekuensi luas dari teorema bilangan prima.
Seiring waktu, ahli teori bilangan telah membantu membangun budaya di mana ahli matematika membuktikan dan membuktikan kembali teorema tidak hanya untuk menguji klaim, tetapi juga untuk meningkatkan keterampilan membuktikan teorema dan pemahaman matematika yang digunakan.
Ini berada di luar lingkup teorema bilangan prima. Paulo Ribenboim mengumpulkan setidaknya 7 bukti ketidakterbatasan bilangan prima. Stephen Kifovit dan Terra Stamps mengidentifikasi 20 buah bukti yang menunjukkan bahwa rangkaian harmonisa 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... tidak menyatu dengan bilangan terbatas, sedangkan Kifovit menambahkan 28 lagi pada mereka... Bruce Ratner mendaftar lebih dari 371 bukti Teorema Pythagoras , termasuk contoh yang sangat baik oleh Euclid, Leonardo da Vinci, dan Presiden AS ke-20 James Abram Garfield, yang saat itu adalah anggota Kongres dari Ohio.
Kebiasaan mencari bukti duplikat begitu mendarah daging di masyarakat sehingga ahli matematika praktis dapat mengandalkannya. Tom Edgar dan Yajun Anh mencatat bahwa hukum kuadrat timbal balik , selain bukti asli Gauss dari tahun 1796, memiliki 246 lebih bukti . Mereka memplot jumlah bukti versus waktu, dan memperkirakan bahwa 300 bukti hukum ini dapat diharapkan pada tahun 2050.
“Saya menyukai bukti baru dari teorema lama untuk alasan yang sama bahwa saya menyukai jalan baru dan jalan memutar yang mengarah ke tempat yang saya tahu,” kata Sofia Restad , seorang mahasiswa pascasarjana di University of Kansas. Jalan baru ini memberi matematikawan rasa spasial dari tempat di mana pencarian intelektual mereka terjadi.
Matematikawan mungkin tidak pernah berhenti mencari cara baru yang lebih jelas untuk membuktikan teorema bilangan prima dan teorema favorit mereka yang lain. Jika Anda beruntung, beberapa dari mereka bahkan akan merasa terhormat dimasukkan ke dalam "Buku".